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Fonction G de Barnes

En mathématiques, la fonction G de Barnes est une fonction qui prolonge la superfactorielle aux nombres complexes. Elle est reliée à la fonction gamma, à la fonction K, ainsi qu'à la constante de Glaisher-Kinkelin. Elle est nommée d'après le mathématicien Ernest William Barnes[1].

Représentation graphique de la fonction G de Barnes sur la droite réelle.

Formellement, la fonction G de Barnes est définie par le produit de Weierstrass suivant:

est la constante d'Euler–Mascheroni, exp la fonction exponentielle.

Équation fonctionnelle

La fonction G de Barnes satisfait à l'équation fonctionnelle suivante

avec la condition G(1) = 1. Cette équation fonctionnelle est similaire à celle de la fonction gamma :

L'équation précédente implique que G prend les valeurs suivantes sur les naturels :

(en particulier, ) et donc

désigne la fonction gamma et K la fonction K. L'équation fonctionnelle décrit de manière unique G si l'on ajoute la condition de convexité : .

La valeur en 1/2 de la fonction G vaut ζ' désigne la dérivée de la fonction zeta de Riemann.

Formules des compléments

Les équations fonctionnelles sur la fonction G et gamma peuvent être utilisées pour obtenir la formule suivante (prouvée à l'origine par Hermann Kinkelin (en)) :

L'intégrale log-tangente du membre de droite peut être évaluée en fonction de la fonction de Clausen (d'ordre 2), comme indiqué ci-dessous :

La preuve repose sur une intégration par partie et la définition de la fonction de Clausen.

En utilisant l'équationet la formule de symétrie, on obtient la formule équivalente :

Autre forme

En faisant le changement de variable z en 1/2 − z donne la formule suivante (faisant intervenir les polynômes de Bernoulli):

Développement en série entière

Par le théorème de Taylor, en considérant les dérivés logarithmiques de la fonction de Barnes, on peut obtenir le développement suivant:

qui est valide pour . Ici, est la fonction zêta de Riemann :

Cela fournit l'égalité :

En comparant cette dernière égalité avec la forme produit de la fonction de Barnes, on obtient :

Formule de multiplication

De même que la fonction gamma, la fonction G a une formule multiplicative :

est donnée par :

et est la constante de Glaisher–Kinkelin.

Développement asymptotique

Le logarithme de G(z + 1) a le développement asymptotique suivant, établi par Barnes :

désignent les nombres de Bernoulli. Ce développement est valide pour dans n'importe quel ouvert ne contentant pas l'axe réel négatif axis avec assez grand.

Relation à l'intégrale Loggamma

La fonction Loggamma est reliée à la fonction G par l'équation :

La preuve consiste d'abord à étudier la différence logarithmique de la fonction gamma et de la fonction G de Barnes :

en considérant la définition de la fonction Gamma comme produit de Weierstrass:

et est la constante d'Euler–Mascheroni.

On obtient donc

Soit

D'autre part, on prend le logarithme du produit de Weierstrass de la fonction gamma et on intègre sur l'intervalle :

Les deux égalités obtenues amènent :

Et puisque,

Références

  1. (en) E. W. Barnes, « The theory of the G-function », Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 31, , p. 264–314
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