Figure de la Terre

Une surface de niveau est une surface sur laquelle la somme du potentiel gravifique ${\displaystyle V}$ et du potentiel axifuge ${\displaystyle Z}$ reste constante. On appelle cette somme ${\displaystyle V+Z}$ le potentiel de pesanteur et on le désigne par ${\displaystyle U}$. Ainsi, l'équation d'une surface de niveau s'écrit :

${\displaystyle U(x_{1},x_{2},x_{3})=U_{0}}$.

En considérant la « constante » ${\displaystyle U_{0}}$ comme un paramètre, toute une famille de telles surfaces de niveau est ainsi définie. Ces surfaces s'emboîtent sans se recouper. Dans la suite, partout où c'est nécessaire, un astérisque distinguera les quantités relatives à l'ellipsoïde. Ainsi, ${\displaystyle V^{*}}$ est le potentiel de gravité normale, et ${\displaystyle U^{*}=V^{*}+Z}$ est le « potentiel de pesanteur normale », ou simplement le potentiel normal. Le potentiel de pesanteur actuel de la Terre, ${\displaystyle U=V+Z}$, est appelé « géopotentiel ». Les constantes particulières définissant le géoïde et l'ellipsoïde de référence sont dénotées ${\displaystyle U_{0}}$ et ${\displaystyle U_{0}^{*}}$, respectivement.

Pour un point matériel quelconque attaché à la Terre, la rotation de celle-ci produit une accélération axifuge perpendiculaire à l'axe de rotation[7]. En effet, si ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ sont les coordonnées cartésiennes du point matériel par rapport à des axes fixes dont l'origine O est le centre de la Terre, ${\displaystyle Ox_{3}}$ étant orienté le long de l'axe polaire, les composantes de l'accélération axifuge du point sont[8] ${\displaystyle (-\omega ^{2}x_{1},-\omega ^{2}x_{2},0)}$. La lettre grecque ${\displaystyle \omega }$ est utilisée conventionnellement pour désigner la vitesse angulaire de rotation de la Terre. Dans le système géodésique de référence international utilisé actuellement elle possède la valeur :

Or, les composantes de l'accélération d'un point matériel se mouvant librement dans un champ de force gravifique sont égales aux composantes du champ de force gravifique par unité de masse, c'est-à-dire égales à – ^∂V⁄_∂xi , i ∈ {1 ; 2 ; 3}. Dans un repère tournant avec la Terre, les composantes de l'accélération sont égales aux différences entre celles d'une particule gravitant librement et celles d'une particule qui coïncide initialement avec elle, mais qui est attachée à la Terre. Ce sont les composantes ${\displaystyle g_{i}}$ de la pesanteur. On a :

${\displaystyle g_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=-{\frac {\partial V}{\partial x_{1}}}+\omega ^{2}x_{1}}$,
${\displaystyle g_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=-{\frac {\partial V}{\partial x_{2}}}+\omega ^{2}x_{2}}$,

${\displaystyle g_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=-{\frac {\partial V}{\partial x_{3}}}}$.

Dès lors, nous définissons le potentiel axifuge par l'expression

${\displaystyle Z(x_{1},x_{2},x_{3})=-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}$.

Le problème consiste donc à déterminer ${\displaystyle V^{*}}$, sur la surface de niveau ${\displaystyle U^{*}=U_{0}^{*}}$ et à l'extérieur de l'ellipsoïde dans tout l'espace, en termes de l'aplatissement ${\displaystyle f}$, et de comparer ensuite l'expression obtenue ainsi avec l'expression du potentiel gravifique extérieur ${\displaystyle V}$ déterminé par la géodésie spatiale au moyen de données satellitaires afin d'obtenir un ajustement pour ${\displaystyle f}$. Une solution pour la première partie de ce problème, à savoir l'obtention d'une expression pour le champ gravifique externe d'un sphéroïde normal, fut donnée en 1849 par le mathématicien britannique G. G. Stokes[9], puis en 1894 par le géodésien italien Pizzetti[10].

Stokes calcula ainsi la gravité de surface et les deux premiers termes (en ${\displaystyle 1/r}$ et ${\displaystyle 1/r^{3}}$) du potentiel newtonien extérieur au sphéroïde, en coordonnées sphériques. Pizzettit résolut l'équation de Laplace qui régit le potentiel newtonien extérieur dans un système de coordonnées ellipsoïdales qui est directement adapté à une surface-frontière sphéroïdale, et obtint une formule fermée qui peut être développée en série de puissances de ${\displaystyle f}$. La précision des mesures géodésiques globales est telle que les termes en ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle f^{2}}$ doivent être retenus, mais que les termes d'ordre ${\displaystyle f^{3}}$ et plus petits peuvent être négligés en pratique ; cependant, la considération de termes d'ordre supérieur au second ne pose aucun problème. Ainsi, un développement de ${\displaystyle V^{*}}$ incluant les termes en ${\displaystyle f^{3}}$ a été publié par Cook en 1959 et par Hirvonen en 1960. Des comptes-rendus concernant la théorie de Pizzetti se trouvent dans de nombreux ouvrages[11]. Cependant, dans les applications pratiques il est en général plus approprié d'employer un système de coordonnées sphériques plutôt que de coordonnées ellipsoïdales et de procéder à un développement en série d'harmoniques sphériques, nonobstant le fait de la difficulté mathématique engendrée par des problèmes de convergence lorsqu'on utilise un système de coordonnées sphériques polaires pour traiter une situation de géométrie non-sphérique.

Dans le cas présent, on peut prouver que le développement en harmoniques sphériques du potentiel gravifique extérieur d'un ellipsoïde de niveau converge sur la surface de l'ellipsoïde, et même bien en dessous de cette surface jusqu'à la surface sphérique homocentrique passant par les foyers de l'ellipsoïde[12]. Il devrait être clair, toutefois, que le prolongement analytique du potentiel extérieur à l'intérieur de l'ellipsoïde ne peut pas représenter de façon appropriée le potentiel intérieur, parce que la solution pour le potentiel extérieur n'est pas une solution de l'équation de Poisson. La démonstration du théorème de Moritz peut être esquissée de la manière suivante : À cause de la symétrie de révolution du sphéroïde normal, le développement formel de ${\displaystyle V^{*}}$ en une série d'harmoniques sphériques contiendra seulement des termes zonaux, et à cause de la symétrie par rapport au plan équatorial (théorème de Lichtenstein), il y aura seulement des termes pairs. Dès lors, la série formelle peut se mettre sous la forme

${\displaystyle V^{*}(x,\theta )=-{\frac {GM}{a}}\left[{\frac {a}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a}{x}}\right)^{2n+1}J_{2n}^{*}P_{2n}(\cos \theta )\right]}$.

• (en) B.H. Chovitz (1981). Modern geodetic Earth reference models, EOS Transactions of the American Geophysical Union 62, 65–67.
• (en) A.H. Cook (1959). The external gravity field of a rotating spheroid to the order of e³, Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society 2, 199–214.
• (en) R.A. Hirvonen (1960). New theory of the gravimetric geodesy, Ann. Acad. Scient. Fenn., Ser. A.III, 56, VIII + 50 pp., Publications of the Isostatic Institute of the International Association of Geodesy.
• (en) W.D. Lambert (1961). Note on the paper of A.H. Cook "The external gravity field of a rotating spheroid to the order of e³", Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society 3, 360–366.
• (en) H. Moritz (1980). Geodetic Reference System 1980, Bulletin Géodésique 54, 395–405.
• Alexis Claude Clairaut, Théorie de la figure de la terre : tirée des principes de l'hydrostatique, 1743 Gallica
• Encyclopédie méthodique, nouvelle édition enrichie de remarques dédiée à la Sérénissime République de Venise. Mathématiques. Tome second, article Figure de la Terre, p. 12-20, Padoue, 1789 Texte
• M. Dehalu, La figure de la Terre et la théorie de l'isostasie d'après les mesures de l'intensité de la pesanteur, Ciel et Terre, Vol. 59, 1943, p. 65-78 Texte
• Alain Riazuelo, Pourquoi la Terre est ronde, Humensis, 2019, 210 p. (lire en ligne)

• Notices d'autorité :

  • LCCN
  • Israël
  • Lettonie
• (fr+en) Tutoriels du Bureau gravimétrique international
• Planète Terre : Vincent Deparris, La forme de la Terre : plate, oblongue ou aplatie aux pôles ?
• « Et la Terre devint ronde », Eurêka !, France Culture, 7 juillet 2021
• (en)Mathematical imagery by Jos Leys : The shape of Planet Earth