Masse fluide en rotation

Soit un ellipsoïde de révolution aplati, d'aplatissement f = (a-b)/a, d'excentricité e.

La rotation est caractérisée par le paramètre m = ${\displaystyle \omega ^{2}a/(GM/a^{2})}$. Comme le volume est donné, V = ${\displaystyle {\frac {4\pi a^{2}b}{3}}}$, m est proportionnel à ${\displaystyle \omega ^{2}/\pi G\rho }$

La solution donnée par Maclaurin est :

${\displaystyle \omega ^{2}/2\pi G\rho =Arcsin(e)\cdot {\frac {(1-e^{2})^{1/2}(3-2e^{2})}{e^{3}}}+3-3/e^{2}}$.

A dire vrai, il vaut mieux considérer que le moment cinétique L = ${\displaystyle 2/5.Ma^{2}\omega }$ est donné. Alors L =f(e) est monotone.

Jacobi montrera que si L augmente, l'ellipsoïde de révolution est instable ; il faut lui substituer un ellipsoïde triaxial (a>b>c) , avec c/a = 0.58 , et b/a = 1 au point de bifurcation : la symétrie de révolution est brisée.

La valeur de e = ${\displaystyle {\sqrt {(}}a^{2}-c^{2})/a}$ correspondante est : 0. 812 670 ...

Pour des valeurs plus importantes de L , b diminue , ainsi que c , pour atteindre les valeurs b/a = 0.43 et c/a = 0.34 .

Au-delà, la solution bifurque à nouveau : solutions "piriformes" de Poincaré , etc.