Coordonnées canoniques

En mécanique classique, les coordonnées canoniques sont des coordonnées ${\displaystyle q^{i}}$ et ${\displaystyle p_{i}}$ dans l'espace des phases qui sont utilisés dans le formalisme hamiltonien. Les coordonnées canoniques satisfont aux relations fondamentales entre crochets de Poisson :

${\displaystyle \left\{q^{i},q^{j}\right\}=0\qquad \left\{p_{i},p_{j}\right\}=0\qquad \left\{q^{i},p_{j}\right\}=\delta _{ij}}$

Un exemple typique de coordonnées canoniques est pour ${\displaystyle q^{i}}$ être les coordonnées cartésiennes habituelles, et ${\displaystyle p_{i}}$ être les composants de l'élan. D'où en général, le ${\displaystyle p_{i}}$ les coordonnées sont appelées «moments conjugués».

Les coordonnées canoniques peuvent être obtenues à partir des coordonnées généralisées du formalisme Lagrangien par une transformation de Legendre, ou d'un autre ensemble de coordonnées canoniques par une transformation canonique.

Les coordonnées canoniques sont définies comme un ensemble spécial de coordonnées sur le fibré cotangent d'une variété . Ils sont généralement écrits comme un ensemble de ${\displaystyle \left(q^{i},p_{j}\right)}$ ou ${\displaystyle \left(x^{i},p_{j}\right)}$ avec les x ou les q désignant les coordonnées sur la variété sous-jacente et les p désignant le moment conjugué, qui sont des formes 1 dans le fibré cotangent au point q dans la variété.

Une définition commune des coordonnées canoniques est tout ensemble de coordonnées sur le faisceau cotangent qui permet à la forme canonique d'être écrite sous la forme

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}\,\mathrm {d} q^{i}}$

jusqu'à un différentiel total. Un changement de coordonnées qui préserve cette forme est une transformation canonique ; ce sont un cas particulier de symplectomorphisme, qui sont essentiellement un changement de coordonnées sur une variété symplectique.

Dans l'exposition suivante, nous supposons que les variétés sont des variétés réelles, de sorte que les vecteurs cotangents agissant sur des vecteurs tangents produisent des nombres réels.

Étant donné une variété Q, un champ vectoriel X sur Q (une section du fibré tangent TQ ) peut être pensé comme une fonction agissant sur le fibré cotangent, par la dualité entre les espaces tangent et cotangent. Autrement dit, définir une fonction

${\displaystyle P_{X}:T^{*}Q\to \mathbb {R} }$

tel que

${\displaystyle P_{X}(q,p)=p(X_{q})}$

est valable pour tous les vecteurs cotangents p dans ${\displaystyle T_{q}^{*}Q}$ . Ici, ${\displaystyle X_{q}}$ est un vecteur dans ${\displaystyle T_{q}Q}$, l'espace tangent à la variété Q au point q . La fonction ${\displaystyle P_{X}}$ est appelée la fonction momentum correspondant à X

En coordonnées locales, le champ vectoriel X au point q peut s'écrire

${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$

où le ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$ sont le cadre de coordonnées sur TQ . Le momentum conjugué a alors l'expression

${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$

où les ${\displaystyle p_{i}}$ sont définis comme les fonctions de momentum correspondant aux vecteurs ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$ :

${\displaystyle p_{i}=P_{\partial /\partial q^{i}}}$

Le ${\displaystyle q^{i}}$ avec la ${\displaystyle p_{j}}$ forment ensemble un système de coordonnées sur le faisceau cotangent ${\displaystyle T^{*}Q}$ ; ces coordonnées sont appelées les coordonnées canoniques.

En mécanique lagrangienne, un ensemble différent de coordonnées est utilisé, appelé coordonnées généralisées. Celles-ci sont communément désignées par ${\displaystyle \left(q^{i},{\dot {q}}^{i}\right)}$ avec ${\displaystyle q^{i}}$ appelé la position généralisée et ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$ la vitesse généralisée. Lorsqu'un hamiltonien est défini sur le fibré cotangent, les coordonnées généralisées sont liées aux coordonnées canoniques au moyen des équations d'Hamilton – Jacobi.

• Analyse discriminante linéaire
• Variété symplectique
• Espace des phases
• Symplectomorphisme
• Moment cinétique

• Herbert Goldstein, Charles P., Jr. Poole et John L. Safko, Classical Mechanics, San Francisco, Addison Wesley, 2002, 347–349 p. (ISBN 0-201-65702-3, lire en ligne)
• Ralph Abraham et Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London (ISBN 0-8053-0102-X). Voir section 3.2 .