Constante d'Apéry

${\displaystyle \zeta (3)=}$[10] - [11] ${\displaystyle -{\frac {4\pi ^{2}}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}}$ (avec ${\displaystyle {\zeta (2k)=(-1)^{k+1}{\frac {(2\pi )^{2k}B_{2k}}{2(2k)!}}}}$, où les ${\displaystyle {\textstyle {B_{2k}}}}$ sont les nombres de Bernoulli).

${\displaystyle \zeta (3)=}$[12] ${\displaystyle {\frac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}={\frac {8}{7}}\lambda (3)}$, où λ est la fonction lambda de Dirichlet[13].

${\displaystyle \zeta (3)=}$[12] ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{3}}}={\frac {4}{3}}\eta (3)}$, où η est la fonction êta de Dirichlet.

${\displaystyle \zeta (3)=}$[14] - [15] ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n-1}}{n^{2}}}}$, où H_n est le n-ième nombre harmonique.

${\displaystyle \zeta (3)=}$[16] ${\displaystyle 8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}H_{n-1}}{n^{2}}}}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$[17] ${\displaystyle {\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{{\binom {2n}{n}}n^{3}}}}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$[18] ${\displaystyle {\frac {1}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(56n^{2}-32n+5)}{{\binom {3n}{n}}{\binom {2n}{n}}n^{3}(2n-1)^{2}}}}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$[19] ${\displaystyle {\frac {1}{64}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!^{10}}{(2n+1)!^{5}}}\left(205n^{2}+250n+77\right)}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$[20] ${\displaystyle {\frac {1}{24}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\left[(2n+1)!(2n)!n!\right]^{3}}{(4n+3)!^{3}(3n+2)!}}\left(126\,392n^{5}+412\,708n^{4}+531\,578n^{3}+336\,367n^{2}+104\,000n+12\,463\right)}$.

Les Cahiers de Ramanujan[21] ont inspiré à Simon Plouffe les formules suivantes[22] :

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(\mathrm {e} ^{2\pi n}-1)}}}$ ;

${\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sinh(\pi n)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(\mathrm {e} ^{2\pi n}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(\mathrm {e} ^{2\pi n}+1)}}}$.

Srivastava[23] a collecté de nombreuses séries qui convergent vers ζ(3).

La première est issue de la définition de la fonction ζ par une série et les deux suivantes, d'expressions intégrales bien connues de cette fonction :

${\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}$ ;

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\,\mathrm {d} x={\frac {2}{3}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{\mathrm {e} ^{x}+1}}\,\mathrm {d} x}$.

La suivante résulte du développement de Taylor de χ₃(e^ix) en x = ±π/2, où χ_ν est la fonction chi de Legendre :

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {4}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\ln {(\sec x+\tan x)}\,\mathrm {d} x}$.

Elle ressemble à cette expression de la constante de Catalan K :

${\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln {(\sec x+\tan x)}\,\mathrm {d} x}$.

Une autre formule similaire, issue du développement en série entière de la fonction complexe ${\displaystyle \ln {(1-z)}}$ :

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\ln {\tan x}\,\mathrm {d} x}$

De manière analogue, la constante de Catalan s'exprime par :

${\displaystyle \mathrm {K} =-\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln {\tan x}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \zeta (3)=}$[24] ${\displaystyle \pi \!\!\int _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\arctan {x})}{\left(x^{2}+1\right)\cosh ^{2}{\frac {\pi x}{2}}}}\,\mathrm {d} x}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$[25] ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\ln(xy)}{1-xy}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=-\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\ln(1-xy)}{xy}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$[26] ${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln x\ln(1-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$[27] ${\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{0}^{1}{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1+x^{2})^{4}}}\,\mathrm {d} x={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{1}^{\infty }{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln x}{(1+x^{2})^{4}}}\,\mathrm {d} x}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$[28] ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\Gamma '''(1)+{\tfrac {3}{2}}\Gamma '(1)\Gamma ''(1)-{\big (}\Gamma '(1){\big )}^{3}=-{\tfrac {1}{2}}\psi _{2}(1)}$, et l'on connaît des représentations intégrales de la fonction gamma et ses dérivées, et de la fonction digamma.

• Valeurs particulières de la fonction zêta de Riemann
• Nombres premiers issus de troncature de cette constante

• (en) A. Cuyt, V. Brevik Petersen, B. Verdonk, H. Waadeland et W. B. Jones, Handbook of Continued Fractions for Special Functions, Springer, 2008 (ISBN 978-1-4020-6948-2, lire en ligne), p. 188
• (en) D. J. Broadhurst, « Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5) »,‎ 1998 (arXiv math.CA/9803067)