Compression et détente adiabatiques

Les processus adiabatiques sont en général modélisés mathématiquement par des gaz parfaits avec lesquels les opérations sont réversibles et dites « isentropiques », c'est-à-dire à entropie constante. À basse pression, cette approximation est acceptable, mais dans la réalité, l’entropie du système augmente toujours au moins un peu. Le système est alors dit « isenthalpique » car, même si l’entropie augmente, l’énergie totale du système (enthalpie) est, elle, préservée.

Pour expliquer ce phénomène, prenons un cylindre rempli d’un gaz que l'on va comprimer avec un piston. Dans un système réversible (donc théorique), si on comprime le gaz avec le piston et qu’on le relâche, le piston va revenir exactement dans sa position d’origine et le gaz, après l’échauffement de sa compression puis sa détente, va revenir exactement dans le même état thermodynamique (même température, même pression) qu’à l’origine. Dans la réalité, par contre, la compression va nécessiter un effort supplémentaire qui sera perdu en chaleur à cause de la viscosité du gaz. Et lors de la détente, le travail rendu sera un peu diminué par cette même viscosité.

À la fin du cycle, le gaz sera un petit peu plus chaud et occupera un volume légèrement plus grand qu’au début ; cependant, comme les forces fournies par la détente auront été plus petites que celles requises pour la compression, le travail total rendu sera inférieur au travail fourni initialement et la différence correspondra à l’énergie absorbée par le gaz pour élever sa température.

Dans un système thermodynamique fermé, toute variation de l’énergie interne du système ${\displaystyle \mathrm {d} U}$ est égale à la somme du travail mécanique ${\displaystyle \delta W}$ et du transfert thermique ${\displaystyle \delta Q}$, échangés avec le milieu extérieur :

${\displaystyle dU=\delta Q+\delta W~}$

Par hypothèse, il n'y a pas d'échange avec le milieu extérieur et le terme ${\displaystyle \delta Q}$ est nul. En transformant les expressions pour chacun de ces termes et en prenant en compte que le processus est isentropique à partir des relations suivantes :

${\displaystyle pV^{\gamma }={\text{constant}}\,\!}$

${\displaystyle pV=mR_{s}T\,\!}$

${\displaystyle p=\rho R_{s}T\,\!\,\!}$

on obtient les relations suivantes :

${\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{\gamma }}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma }}$
${\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{(\gamma -1)}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{(\gamma -1)}}$
${\displaystyle {\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma }}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}}$
${\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{1}}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)^{\frac {1}{\gamma }}}$

où

• ${\displaystyle p\,\!}$ = Pression
• ${\displaystyle V\,\!}$ = Volume
• ${\displaystyle T\,\!}$ = Température
• ${\displaystyle m\,\!}$ = Masse
• ${\displaystyle R\,\!}$ = Constante universelle des gaz parfaits
• ${\displaystyle R_{s}\,\!}$ = Constante d'un gaz parfait spécifique = ${\displaystyle R/M\,\!}$
• ${\displaystyle M\,\!}$ = Masse moléculaire d'un gaz spécifique
• ${\displaystyle \rho \,\!}$ = Masse volumique
• ${\displaystyle C_{p}\,\!}$ = Capacité thermique à pression constante
• ${\displaystyle C_{v}\,\!}$ = Capacité thermique à volume constant
• ${\displaystyle \gamma \,\!}$ = Indice adiabatique = ${\displaystyle C_{p}/C_{v}\,\!}$

Une autre forme de cette formule permet de calculer la température de refoulement d'un compresseur en supposant que la compression est adiabatique et réversible[1] : ${\displaystyle T_{r}=\left({\frac {P_{r}}{P_{a}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\times (T_{a}+273,15)}$

avec

• ${\displaystyle P_{r}}$ : pression de refoulement du compresseur en bars
• ${\displaystyle P_{a}}$ : pression d'aspiration du compresseur en bars
• ${\displaystyle \gamma }$ : indice adiabatique, qui dépend du gaz (gaz parfait) (pour de l'air, vaut environ 1,4 à 15 °C)
• ${\displaystyle T_{a}}$ : température d'aspiration du compresseur en °C
• ${\displaystyle T_{r}}$ : température de refoulement du compresseur en K.

Sur une pompe à vélo avec ${\displaystyle P_{r}}$ de 2 bar, ${\displaystyle P_{a}}$ de 1 bar et ${\displaystyle T_{a}}$ de 293,15 K (20 °C), la température en sortie de la pompe sera 84 °C (ceci est purement un calcul théorique car dans la réalité ce sera moins, l'échange ne sera pas complètement adiabatique et la pompe s'échauffera, prenant une partie de l'énergie dégagée).