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Calcul de Malliavin

En théorie des probabilités et dans les domaines connexes, le calcul de Malliavin est un ensemble de techniques et de concepts mathématiques qui étendent le domaine mathématique du calcul des variations des fonctions déterministes aux processus stochastiques .

Aperçu et historique

Le mathématicien français Paul Malliavin a introduit le calcul - appelé maintenant calcul de Malliavin - permettant de fournir une preuve stochastique de l'existence d'une variable aléatoire à densité pour la solution d'une équation différentielle stochastique ; la preuve originale de Lars Hörmander était basée sur la théorie des équations aux dérivées partielles. Son calcul a permis à Malliavin de prouver des bornes de régularité pour la densité de la solution. Le calcul a été appliqué aux équations aux dérivées partielles stochastiques.

Le calcul de Malliavin, aussi appelé calcul stochastique des variations, permet le calcul de dérivées de variables aléatoires. Le calcul permet l'intégration par parties avec des variables aléatoires ; cette opération est utilisée en mathématiques financiÚres pour calculer les sensibilités des produits dérivés. Le calcul a des applications également dans le filtrage stochastique.

Principe d'invariance

Le principe d'invariance habituel pour l'intégrale de Lebesgue sur la droite réelle tout entiÚre est que, pour tout nombre réel Δ et toute fonction intégrable f, on a :

et donc

On peut en dériver la formule d'intégration par parties car pour f = gh, cela implique :

Une idĂ©e similaire peut ĂȘtre appliquĂ©e dans l'analyse stochastique pour la diffĂ©renciation le long d'une direction de Cameron-Martin-Girsanov. En effet, soit est un processus prĂ©visible de carrĂ© intĂ©grable ; on pose :

.

Si est un processus de Wiener, le théorÚme de Girsanov donne alors l'analogue suivant du principe d'invariance :

En différenciant par rapport à Δ des deux cÎtés et en évaluant en Δ=0, on obtient la formule d'intégration par parties suivante :

Ici, le membre de gauche est la dĂ©rivĂ©e de Malliavin de la variable alĂ©atoire dans la direction et l'intĂ©grale apparaissant Ă  droite doit ĂȘtre interprĂ©tĂ©e comme une intĂ©grale d'Itƍ. Cette expression reste Ă©galement vraie (par dĂ©finition) si n'est pas adaptĂ©, Ă  condition que le membre de droite est interprĂ©tĂ© comme une intĂ©grale de Skorokhod.

Formule de Clark-Ocone

L'un des résultats les plus utiles du calcul de Malliavin est le théorÚme de Clark-Ocone, qui permet d'identifier explicitement le processus dans le théorÚme de représentation de la martingale. Une version simplifiée de ce théorÚme est la suivante :

Pour satisfaisant qui est Lipschitz et tel que F a un noyau dérivé fort, en ce sens que, pour en C [0,1],

on a :

,

oĂč H est la projection prĂ©visible de qui peut ĂȘtre considĂ©rĂ©e comme la dĂ©rivĂ©e de la fonction F par rapport Ă  un dĂ©calage parallĂšle appropriĂ© du processus X sur la portion ( t ,1] de son domaine. De maniĂšre plus concise, on a

.

Une grande partie du travail de développement formel du calcul de Malliavin consiste à étendre ce résultat à la plus grande classe possible de fonctionnelles F en remplaçant le noyau dérivé utilisé ci-dessus par la « dérivée de Malliavin » notée dans l'énoncé ci-dessus du résultat.

Intégrale de Skorokhod

L' opérateur intégral de Skorokhod qui est classiquement noté Ύ est défini comme l'adjoint de la dérivée de Malliavin ; pour u dans le domaine de l'opérateur qui est un sous-ensemble de , pour F dans le domaine de la dérivée de Malliavin, il doit avoir

oĂč le produit interne est celui sur :

.

L'existence de cet adjoint découle du théorÚme de représentation de Riesz pour les opérateurs linéaires sur les espaces de Hilbert.

On peut montrer que si u est adapté, alors

oĂč l'intĂ©grale est Ă  comprendre au sens ItĂŽ. Cela fournit donc une mĂ©thode d'extension de l'intĂ©grale d'ItĂŽ Ă  des intĂ©grandes non adaptĂ©s.

Références

  • S. Kusuoka et D. Stroock, « Applications of Malliavin Calculus I », Stochastic Analysis, Proceedings Taniguchi International Symposium Katata and Kyoto,‎ , p. 271–306.
  • S. Kusuoka et D. Stroock, « Applications of Malliavin Calculus II », J. Faculty Sci. Uni. Tokyo Sect. 1A Math, vol. 32,‎ , p. 1–76.
  • S. Kusuoka et D. Stroock, « Applications of Malliavin Calculus III », J. Faculty Sci. Uni. Tokyo Sect. 1A Math, vol. 34,‎ , p. 391–442.
  • Paul Malliavin et Anton Thalmaier, Stochastic Calculus of Variations in Mathematical Finance, Springer-Verlag, (ISBN 3-540-43431-3).
  • David Nualart, The Malliavin calculus and related topics, Springer-Verlag, , 2e Ă©d. (ISBN 978-3-540-28328-7, lire en ligne Inscription nĂ©cessaire)
  • Denis Bell, The Malliavin Calculus, Dover, (ISBN 0-486-44994-7, prĂ©sentation en ligne).
  • Giulia Di Nunno, Bernt Øksendal et Frank Proske, Malliavin Calculus for LĂ©vy Processes with Applications to Finance, Springer-Verlag, coll. « Universitext », (ISBN 978-3-540-78571-2).

Liens externes

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