Théorème de Girsanov

Des résultats de ce type ont été prouvés pour la première fois dans les années 1940 par Cameron-Martin puis en 1960 par Girsanov. Par la suite ils ont été étendus à des classes plus vastes de processus allant en 1977 jusqu'à la forme générale de Lenglart.

Soit ${\displaystyle X_{t}}$ une martingale locale continue par rapport à une filtration ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0}}$ satisfaisant les conditions usuelles. On définit l'exponentielle stochastique ${\displaystyle Z}$ de ${\displaystyle X}$ par la formule

${\displaystyle Z_{t}=\exp \left(X_{t}-{\frac {1}{2}}\langle X\rangle _{t}\right),}$

avec ${\displaystyle \langle X\rangle _{t}}$ la Variation quadratique de ${\displaystyle X_{t}}$. Notamment, on a l'équation différentielle stochastique : ${\displaystyle dZ_{t}=Z_{t}dX_{t}.}$

Le processus ${\displaystyle Z}$ est alors une martingale locale strictement positive, et on peut définir une mesure ${\displaystyle Q_{t}}$ équivalente à la restriction de la mesure P à ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ à partir de sa densité de Radon-Nikodym.

${\displaystyle {\frac {dQ_{t}}{dP_{|_{{\mathcal {F}}_{t}}}}}=Z_{t}.}$

Si ${\displaystyle Z}$ est en fait une vraie martingale, la famille ${\displaystyle Q_{t}}$ est induite par une mesure Q définie sur toute la tribu ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ :

${\displaystyle Q_{t}=Q_{|_{{\mathcal {F}}_{t}}}.}$

De plus, si Y est une martingale locale sous P alors le processus

${\displaystyle {\widetilde {Y}}_{t}=Y_{t}-\left[Y,X\right]_{t}}$

est une martingale locale sous Q.

Si X est un processus continu et W est un mouvement brownien sous P alors

${\displaystyle {\widetilde {W}}_{t}=W_{t}-\left[W,X\right]_{t}}$ est brownien sous Q.

La continuité de ${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}$ est triviale; selon le théorème de Girsanov, c'est une martingale locale sous Q, or :

${\displaystyle \left[{\widetilde {W}}\right]_{t}=\left[W\right]_{t}=t}$

Ce qui correspond à la caractérisation de Lévy du mouvement brownien sous Q.

Ce théorème peut être utilisé pour trouver l'unique probabilité risque neutre dans le modèle de Black-Scholes.

Ainsi, si un actif suit le processus de diffusion vérifiant :

${\displaystyle {\frac {dS}{S}}=\mu dt+\sigma dW_{t}}$ où ${\displaystyle W_{t}}$ est un P-mouvement brownien.

En effectuant le changement de probabilité suivant :

${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}|_{{\mathcal {F}}_{t}}=\exp \left(\int _{0}^{t}{\frac {r-\mu }{\sigma }}\,dW_{s}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {r-\mu }{\sigma }}\right)^{2}ds\right).}$

On obtient une diffusion vérifiant :

${\displaystyle {\frac {dS}{S}}=rdt+\sigma d{\tilde {W_{t}}}}$

Où ${\displaystyle {\tilde {W_{t}}}}$ est un Q-mouvement brownien.

Si on note ${\displaystyle {\tilde {S}}}$ la valeur actualisée de ${\displaystyle S}$, on a :

${\displaystyle {\frac {d{\tilde {S}}}{\tilde {S}}}=\sigma d{\tilde {W}}_{t}}$

Sous la probabilité Q la valeur de notre actif réactualisée est une martingale.

On donne ici un énoncé plus simple du théorème, Soit ${\displaystyle \{\Omega ,{\mathcal {F}},P,\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{0\leq t\leq T}\}}$ un espace probabilisé, muni de la filtration naturelle par rapport au processus de Wiener standard ${\displaystyle (W_{t}),t\in T}$. Soit ${\displaystyle (Y_{t})_{0\leq t\leq T}}$ un processus adapté tel que :${\displaystyle \int _{0}^{T}Y_{s}^{2}\,\mathrm {d} s<\infty }$ P-f.s. et tel que le processus ${\displaystyle (Z_{t})_{0\leq t\leq T}}$ défini par:

${\displaystyle Z_{t}=\exp \left(\int _{0}^{t}Y_{s}\mathrm {d} W_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}Y_{s}^{2}\mathrm {d} s\right)}$

soit une martingale.

Alors sous la probabilité ${\displaystyle P^{(Z)}}$ de densité ${\displaystyle Z_{T}}$ par rapport à P, le processus ${\displaystyle ({\tilde {W}}_{t})_{0\leq t\leq T}}$ défini par ${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\int _{0}^{t}Y_{s}\mathrm {d} s}$ est un processus de Wiener standard.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Girsanov theorem » (voir la liste des auteurs).
• C. Dellacherie et P.-A. Meyer, Probabilités et potentiel – Théorie des martingales, Hermann, 1980, chap. VII
• E. Lenglart, « Transformation des Martingales locales par changement absolument continu de probabilities », dans Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit, vol. 39, 1977, p. 65-70