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Processus adapté

Dans l’étude des processus stochastiques, un processus adapté est un processus qui ne peut pas «voir l’avenir». Une interprétation informelle [1] est qu'un processus X est adapté si et seulement si, pour chaque réalisation et chaque n, X n est connu au temps n . Le concept de processus adapté est essentiel, par exemple, dans la définition de l'intégrale d'Itô, qui n'a de sens que si l'intégrant est un processus adapté.

Définition

Soient

  • un espace de probabilité ;
  • l'ensemble des indices (souvent est , , ou )
  • une filtration de la σ-algèbre ;
  • un espace mesurable, l'espace d'états ;
  • un processus stochastique .

Le processus est dit adapté à la filtration si la variable aléatoire est une - fonction mesurable pour chaque [2].

Voir également

Références

  1. (en) David Wiliams, Diffusions, Markov Processes and Martingales : Foundations, vol. 1, Wiley, (ISBN 0-471-99705-6), « II.25 »
  2. (en) Bernt Øksendal, Stochastic Differential Equations : An Introduction with Applications, Springer, , 360 p. (ISBN 978-3-540-04758-2, lire en ligne), p. 25
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