Filtration (probabilités)
En théorie des probabilités, une filtration est une famille de tribus dans l'ordre croissant et chaque prédécesseur est un sous-ensemble du successeur, c'est-à -dire

pour les éléments de filtration
.
Avec la filtration on modélise le flux d'informations. Chaque élément
de la famille a l'information sur les événements qui étaient observables au temps
.
Definition
Soient
un espace de probabilité et
.
La famille :=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}
des sous-tribu
est une filtration si ordonnée par ordre croissant, cela signifie

pour tout
.
est un espace de probabilité filtré[1].
Caractérisations de filtration
Filtration naturelle
Soit
un processus stochastique. La filtration naturelle est
. C'est la filtration minimale telle que
soit adapté.
Filtration continue
Soit :=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}
une filtration. On définit

on a toujours
.
On définit

- On appelle
filtration continue Ă gauche, si
, c'est-Ă -dire
pour tout 
- On appelle
filtration continue Ă droite, si
, c'est-Ă -dire
pour tout 
- On appelle
filtration continue, si

On définit également[1]

Filtration augmentée
Pour un espace de probabilité
nous définissons l'ensemble
-négligeable
- :{\text{ il y a un }}B\subset {\mathcal {F}}{\text{ avec }}A\subset B{\text{ et }}P(B)=0\}.}

La filtration
avec

est appelé filtration augmentée[2].
Conditions habituelles
Pour un espace de probabilité filtré
on dit que les conditions usuelles sont satisfaites si
est continue à droite et contient tout l'ensemble négligeable, c'est-à -dire

Bibliographie
- (en) Daniel revuz et Marc Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer,
- (de) David Meintrup et Stefan SchÀffler, Stochastik: Theorie und Anwendungen, Springer,
Références
- (en) Daniel Revuz et Marc Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer, , p. 41-48
- (de) David Meintrup et Stefan SchÀffler, Stochastik: Theorie und Anwendungen, Springer, , p. 390
Remarques
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