Apeirogone

H. S. M. Coxeter part de la donnée, dans un espace euclidien, d'un point de base A₀ et d'une translation S ; l'ensemble des itérés A_i = Sⁱ(A₀) (avec ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$) et des arêtes reliant les sommets adjacents ${\displaystyle A_{i}}$ et ${\displaystyle A_{i+1}}$définit un apeirogone (régulier)[1]. On peut aussi interpréter cette construction comme le partage d'une droite en segments d'égale longueur[2].

La construction classique d'un polygone régulier du plan euclidien (par une suite de rotations de ${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$ autour d'un centre bien choisi) peut s'adapter en itérant des rotations du segment ${\displaystyle [A_{i},A_{i+1}]}$ autour du point ${\displaystyle A_{i+1}}$ et d'angle ${\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}}$ (le point ${\displaystyle A_{i}}$ devenant le point ${\displaystyle A_{i+2}}$) ; si on remplace ce dernier angle par un angle ${\displaystyle \alpha }$ quelconque, on n'obtient qu'un polygone régulier étoilé, ou une ligne polygonale ne se refermant pas, mais restant inscrite dans une couronne circulaire. En revanche, en géométrie hyperbolique (et en prenant pour courbure ${\displaystyle K=-1}$), si on part d'un côté de longueur a et d'un angle ${\displaystyle \alpha \geq \alpha _{0}=2\arcsin {\frac {1}{\cosh(a/2)}}}$[3], la suite des segments s'éloigne à l'infini ; l'ensemble des ${\displaystyle A_{i}}$, qu'on appelle un apeirogone d'angle ${\displaystyle \alpha }$ et de côté a, est inscrit dans un horocycle si ${\displaystyle \alpha =\alpha _{0}}$, et dans un hypercycle si ${\displaystyle \alpha >\alpha _{0}}$ (certains auteurs réservent le nom d'apeirogone à ceux inscrits dans des horocycles).

Un polytope abstrait est un ensemble partiellement ordonné d'objets (les faces) dont la relation d'ordre modélise l'inclusion des faces de polytopes concrets[4]^:22–25. Le cas particulier des polygones abstraits correspond à un ordre partiel sur certains sous-ensembles d'un ensemble de sommets : les sommets eux-mêmes, certains ensembles de deux sommets (les arêtes) et les deux sous-ensembles triviaux vide et plein, chaque sommet appartenant exactement à deux arêtes, et le graphe formé des sommets et des arêtes étant connexe[4]^:22–25[5]^:224 ; si l'ensemble des sommets est infini dénombrable, on parle d'un apeirogone abstrait[4]^:25; il est unique à isomorphisme près. Le groupe des automorphismes de l'apeirogone abstrait (appelés symétries dans ce cas) est le groupe diédral infini[4]^:31.

Une réalisation d'un polygone abstrait est une application de ses sommets vers des points d'un espace métrique (le plus souvent, l'espace euclidien ou l'espace hyperbolique de dimension n) telle que chaque automorphisme du polygone correspond à une isométrie de l'ensemble des images[4]^:121[5]^:225 ; deux réalisations sont dites congruentes si la bijection naturelle entre leurs ensembles de sommets est induite par une isométrie des espaces d'arrivée tout entiers[4]^:126[5]^:229. Ainsi, les définitions concrètes données précédemment sont des réalisations de l'apeirogone abstrait, respectivement dans le plan euclidien et dans le plan hyperbolique, mais bien qu'isomorphes, elles ne sont pas congruentes.

Le groupe G des automorphismes d'une réalisation V de l'apeirogone abstrait peut se décrire comme engendré par deux symétries (orthogonales), dont le produit envoie chaque sommet de V sur le suivant : la première symétrie laisse un sommet donné ${\displaystyle S_{0}}$ invariant, et la seconde échange deux sommets adjacents ${\displaystyle S_{0}}$ et ${\displaystyle S_{1}}$[4]^:140–141[5]^:231 ; selon la réalisation considérée, il est isomorphe au groupe diédral infini (si V est infini) ou au groupe diédral d'ordre 2n (si V a n éléments).