Analogie de Maxwell

L'analogie d'impédance est largement utilisée pour modéliser le comportement des filtres mécaniques. Ce sont des filtres destinés à être utilisés dans un circuit électronique, mais qui fonctionnent entièrement par ondes vibratoires mécaniques. Des transducteurs sont prévus à l'entrée et à la sortie du filtre pour effectuer la conversion entre les domaines électrique et mécanique[2].

Une autre utilisation très courante se situe dans le domaine des équipements audio, tels que les haut-parleurs. Ces derniers se composent d'un transducteur et de pièces mobiles mécaniques. Les ondes acoustiques elles-mêmes sont des ondes de mouvement mécanique : de molécules d'air ou d'un autre milieu fluide. Une des premières applications de ce type consistait à apporter des améliorations significatives aux performances audio abyssales des phonographes. En 1929, Edward Norton a conçu les parties mécaniques d'un phonographe pour qu'elles se comportent comme un filtre plat au maximum, anticipant ainsi le filtre électronique de Butterworth.

Avant qu'une analogie électrique puisse être développée pour un système mécanique, il doit d'abord être décrit comme un réseau mécanique abstrait. Le système mécanique est décomposé en un certain nombre d'éléments idéaux dont chacun peut ensuite être associé à un analogue électrique[3]. Les symboles utilisés pour ces éléments mécaniques sur les schémas de réseau sont indiqués dans les sections suivantes sur chaque élément individuel.

Les analogies mécaniques des éléments électriques localisés sont également des éléments localisés, c'est-à-dire que l'on suppose que le composant mécanique possédant l'élément est suffisamment petit pour que le temps mis par les ondes mécaniques pour se propager d'une extrémité du composant à l'autre puisse être négligé. Des analogies peuvent également être développées pour les éléments distribués tels que les lignes de transmission, mais les plus grands avantages sont avec les circuits à éléments localisés. Des analogies mécaniques sont requises pour les trois éléments électriques passifs, à savoir la résistance, l'inductance et la capacité. Ces analogies sont déterminées par la propriété mécanique choisie pour représenter "l'effort", l'analogie de la tension, et la propriété choisie pour représenter le "débit", l'analogie du courant[4]. Dans l'analogie de l'impédance, la variable d'effort est la force et la variable de débit est la vitesse[5] .

Résistance

Le symbole mécanique d'un amortisseur (à gauche) et son analogue électrique (à droite)[6]. Le symbole se veut évocateur d'un dissipateur visqueux[7].

L'analogie mécanique de la résistance électrique est la perte d'énergie d'un système en mouvement par des processus tels que le frottement. Un composant mécanique analogue à une résistance est un amortisseur et la propriété analogue à la résistance est l'amortissement. Une résistance est régie par l'équation constitutive de la loi d' Ohm,

$${\displaystyle v=iR\,.}$$

L'équation analogue dans le domaine mécanique est :

$${\displaystyle F=uR_{\mathrm {m} }\,,}$$

où

• R est la résistance
• v est la tension
• i est l'intensité
• R_m est la résistance mécanique
• F est la force
• u est la célérité induite par la force

La résistance électrique représente la partie réelle de l'impédance électrique . De même, la résistance mécanique est la partie réelle de l'impédance mécanique[7] .

Inductance

Le symbole mécanique d'une masse (à gauche) et son analogue électrique (à droite)[6]. L'angle carré sous la masse est destiné à indiquer que le mouvement de la masse est relatif à un cadre de référence[8].

L'analogue mécanique de l'inductance dans l'analogie de l'impédance est la masse. Un composant mécanique analogue à un inducteur est un gros poids rigide. Une inductance est régie par l'équation constitutive,

$${\displaystyle v=L{\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}\,.}$$

L'équation analogue dans le domaine mécanique est la deuxième loi du mouvement de Newton :

$${\displaystyle F=M{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}\,,}$$

où

• L est l'inductance
• t est le temps
• M est la masse[5]

L'impédance d'une inductance est purement imaginaire et est donnée par

$${\displaystyle Z=j\omega L\,.}$$

L'impédance mécanique analogue est donnée par

$${\displaystyle Z_{\mathrm {m} }=j\omega M\,,}$$

où

• Z est l'impédance électrique
• j est l'unité imaginaire ;
• ω est la fréquence angulaire ;
• Z_m est l'impédance mécanique[9].

Capacitance

Le symbole mécanique d'un élément de rigidité (à gauche) et son analogue électrique (à droite)[6]. Le symbole se veut évocateur d'un ressort[10].

L'analogie mécanique de la capacité dans l'analogie de l'impédance est la conformité. Il est plus courant en mécanique de parler de raideur, l'inverse de la souplesse. L'analogie de la rigidité dans le domaine électrique est l'élastance moins couramment utilisée, l'inverse de la capacité [11]. Un composant mécanique analogue à un condensateur est un ressort[10]. Un condensateur est régi par l'équation constitutive,

$${\displaystyle v=D\int i\mathrm {d} t\,.}$$

L'équation analogue dans le domaine mécanique est une forme de la loi de Hooke ,

$${\displaystyle F=S\int u\,\mathrm {d} t\,,}$$

où

• D = 1/C est l'élastance
• C est la capacitance
• S est la raideur.

L'impédance d'un condensateur est purement imaginaire et est donnée par,

$${\displaystyle Z={\frac {D}{j\omega }}\,.}$$

L'impédance mécanique analogue est donnée par

$${\displaystyle Z_{\mathrm {m} }={\frac {S}{j\omega }}\,.}$$

Alternativement, on peut écrire

$${\displaystyle Z_{\mathrm {m} }={\frac {1}{j\omega C_{\mathrm {m} }}}\,,}$$

où ${\displaystyle C_{m}=1/S}$ est la conformité mécanique. Ceci est plus directement analogue à l'expression électrique lorsque la capacité est utilisée[12].

Générateurs

Le symbole mécanique d'un générateur de force constante (à gauche) et son analogue électrique (à droite)

Le symbole mécanique d'un générateur à vitesse constante (à gauche) et son analogue électrique (à droite)

Des analogues existent pour les éléments électriques actifs de la source de tension et de la source de courant (générateurs). L'analogue mécanique dans l'analogie d'impédance du générateur de tension constante est le générateur de force constante. L'analogue mécanique du générateur de courant constant est le générateur de vitesse constante[14].

Un exemple de générateur de force constante est le ressort à force constante. Ceci est analogue à une source de tension réelle, telle qu'une batterie, qui reste proche de la tension constante avec charge à condition que la résistance de charge soit bien supérieure à la résistance interne de la batterie. Un exemple de générateur pratique à vitesse constante est une machine puissante légèrement chargée, telle qu'un moteur, entraînant une courroie[15].

Transducteurs

Les systèmes électromécaniques nécessitent des transducteurs pour effectuer la conversion entre les domaines électrique et mécanique. Ils sont analogues aux réseaux à deux ports et, comme ceux-ci, peuvent être décrits par un système de deux équations à quatre paramètres arbitraires, couplées. Il existe de nombreuses représentations possibles, mais la forme la plus applicable à l'analogie de l'impédance a les paramètres arbitraires en unités d'impédance. Sous forme matricielle (avec le côté électrique pris comme port 1), cette représentation est

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}v\\F\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i\\u\end{bmatrix}}\,.}$$

L'élément z₂₂ est l'impédance mécanique en circuit ouvert, c'est-à-dire l'impédance présentée par le côté mécanique du transducteur lorsqu'aucun courant (circuit ouvert) n'entre dans le côté électrique. L'élément z₁₁, à l'inverse, est l'impédance électrique bloquée, c'est-à-dire l'impédance présentée au côté électrique lorsque le côté mécanique est bloqué et empêché de se déplacer (la vitesse est nulle). Les deux éléments restants, z₂₁ et z₁₂, décrivent respectivement les fonctions de transfert direct et inverse du transducteur. Ils sont tous deux analogues aux impédances de transfert et sont des rapports hybrides d'une grandeur électrique et mécanique.

Le principal avantage de l'analogie d'impédance par rapport à son alternative, l'analogie de mobilité, est qu'elle maintient l'analogie entre l'impédance électrique et mécanique. C'est-à-dire qu'une impédance mécanique est représentée comme une impédance électrique et une résistance mécanique est représentée comme une résistance électrique dans le circuit électrique équivalent. Il est également naturel de considérer la force comme analogue à la tension (les tensions du générateur sont souvent appelées force électromotrice) et la vitesse comme analogue au courant. C'est cette analogie de base qui conduit à l'analogie entre l'impédance électrique et mécanique[4].

Le principal inconvénient de l'analogie d'impédance est qu'elle ne préserve pas la topologie du système mécanique. Les éléments qui sont en série dans le système mécanique sont en parallèle dans le circuit électrique équivalent et vice versa .

La représentation matricielle de l'impédance d'un transducteur transforme la force dans le domaine mécanique en courant dans le domaine électrique. De même, la vitesse dans le domaine mécanique est transformée en tension dans le domaine électrique. Un dispositif à deux ports qui transforme une tension en une grandeur analogue peut être représenté comme un simple transformateur. Un dispositif qui transforme une tension en un analogue de la double propriété de la tension (c'est-à-dire le courant, dont l'analogue est la vitesse) est représenté par un gyrateur[18]. Étant donné que la force est analogue à la tension et non au courant, cela peut sembler un inconvénient à première vue. Cependant, de nombreux transducteurs pratiques, en particulier aux fréquences audio, fonctionnent par induction électromagnétique et sont régis par une telle relation[19]. Par exemple, la force sur un conducteur sous tension est donnée par,

$${\displaystyle F=BIl\,,}$$

où

• B est la densité de flux magnétique
• l est la longueur du conducteur.

L'analogie de l'impédance est appelée l'analogie de Maxwell [4] d'après James Clerk Maxwell (1831–1879) qui a utilisé des analogies mécaniques pour expliquer ses idées sur les champs électromagnétiques[20]. Cependant, le terme impédance n'a été inventé qu'en 1886 (par Oliver Heaviside [21]), l'idée d' impédance complexe a été introduite par Arthur E. Kennelly en 1893, et le concept d'impédance n'a été étendu au domaine mécanique qu'en 1920 par Kennelly et Arthur Gordon Webster[22].

Henri Poincaré en 1907 a été le premier à décrire un transducteur comme une paire d'équations algébriques linéaires reliant des variables électriques (tension et courant) à des variables mécaniques (force et vitesse)[23]. Wegel, en 1921, a été le premier à exprimer ces équations en termes d'impédance mécanique ainsi que d'impédance électrique.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Impedance analogy » (voir la liste des auteurs).

• Beranek, Leo Leroy; Mellow, Tim J., Acoustics: Sound Fields and Transducers, Academic Press, 2012 (ISBN 0123914213).
• Busch-Vishniac, Ilene J., Electromechanical Sensors and Actuators, Springer Science & Business Media, 1999 (ISBN 038798495X).
• Carr, Joseph J., RF Components and Circuits, Newnes, 2002 (ISBN 0-7506-4844-9).
• Darlington, S. "A history of network synthesis and filter theory for circuits composed of resistors, inductors, and capacitors", IEEE Transactions on Circuits and Systems, vol. 31, no. 1, pp. 3–13, 1984.
• Eargle, John, Loudspeaker Handbook, Kluwer Academic Publishers, 2003 (ISBN 1402075847).
• Fukazawa, Tatsuya; Tanaka, Yasuo, "Evoked otoacoustic emissions in a cochlear model", pp. 191–196 in Hohmann, D. (ed), ECoG, OAE and Intraoperative Monitoring: Proceedings of the First International Conference, Würzburg, Germany, September 20–24, 1992, Kugler Publications, 1993 (ISBN 9062990975).
• Harrison, Henry C. "Acoustic device", (en) Brevet U.S. 1730425, filed 11 October 1927 (and in Germany 21 October 1923), issued 8 October 1929.
• Hunt, Frederick V., Electroacoustics: the Analysis of Transduction, and its Historical Background, Harvard University Press, 1954 (OCLC 2042530).
• Jackson, Roger G., Novel Sensors and Sensing, CRC Press, 2004 (ISBN 1420033808).
• Kleiner, Mendel, Electroacoustics, CRC Press, 2013 (ISBN 1439836183).
• Martinsen, Orjan G.; Grimnes, Sverre, Bioimpedance and Bioelectricity Basics, Academic Press, 2011 (ISBN 0080568807).
• Paik, H. J., "Superconduction accelerometers, gravitational-wave transducers, and gravity gradiometers", pp. 569–598, in Weinstock, Harold, SQUID Sensors: Fundamentals, Fabrication, and Applications, Springer Science & Business Media, 1996 (ISBN 0792343506).
• Pierce, Allan D., Acoustics: an Introduction to its Physical Principles and Applications, Acoustical Society of America 1989 (ISBN 0883186128).
• Pipes, Louis A.; Harvill, Lawrence R., Applied Mathematics for Engineers and Physicists, Courier Dover Publications, 2014 (ISBN 0486779513).
• Poincaré, H., "Study of telephonic reception", Eclairage Electrique, vol. 50, pp. 221–372, 1907.
• Stephens, Raymond William Barrow; Bate, A. E., Acoustics and vibrational physics, Edward Arnold, 1966 (OCLC 912579).
• Talbot-Smith, Michael, Audio Engineer's Reference Book, Taylor & Francis, 2013 (ISBN 1136119736).
• Taylor, John; Huang, Qiuting, CRC Handbook of Electrical Filters, CRC Press, 1997 (ISBN 0849389518).
• Wegel, R. L., "Theory of magneto-mechanical systems as applied to telephone receivers and similar structures", Journal of the American Institute of Electrical Engineers, vol. 40, pp. 791–802, 1921.