Équation de Borda–Carnot

L'équation de Borda–Carnot est[1] - [2] :

${\displaystyle \Delta E\,=\,\xi \,{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}\,\rho \,\left(v_{1}\,-\,v_{2}\right)^{2},}$

où

• ΔE est la perte d'énergie mécanique du fluide,
• ξ est un coefficient de perte empirique sans dimension,
• ρ est la masse volumique du fluide ,
• v₁ et v₂ sont les vitesses moyennes d'écoulement avant et après la variation de section.

En cas d'augmentation brutale et intense, le coefficient de perte est égal à un[1]. Dans les autres cas, le coefficient de perte doit être déterminé par d'autres moyens, le plus souvent à partir de formules empiriques (basées sur des données expérimentales). Le coefficient de perte ξ peut être minimisé par optimisation des lignes de courant. Par exemple, dans le cas de l'augmentation de section d'une canalisation, l'utilisation d'un divergent peut réduire les pertes d'énergie mécanique. Dans certaines configurations particulières, le coefficient de perte peut cependant être supérieur à un[3].

L'équation de perte de Borda-Carnot n'est valable que pour une vitesse décroissante, v₁ > v₂, sinon la perte ΔE serait nulle : sans apport de forces externes supplémentaires, il ne peut y avoir de gain d'énergie du fluide.

L'équation de Borda-Carnot donne la décroissance de la constante de l'équation de Bernoulli . Pour un écoulement incompressible, le résultat est le long d'une ligne de courant[2] :

${\displaystyle p_{1}\,+\,{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}\,\rho \,v_{1}^{2}\,+\,\rho \,g\,z_{1}\,=\,p_{2}\,+\,{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}\,\rho \,v_{2}^{2}\,+\,\rho \,g\,z_{2}\,+\,\Delta E,}$

avec

• p₁ et p₂ la pression aux points 1 et 2,
• z₁ et z₂ la hauteur du fluide au-dessus d'un niveau de référence,
• g l'accélération gravitationnelle .

Les trois premiers termes, de part et d'autre du signe égal sont respectivement la pression, la densité d'énergie cinétique du fluide et la densité d'énergie potentielle due à la pesanteur. Comme on peut le voir, la pression agit effectivement comme une forme d'énergie potentielle.

Pour les écoulements en conduite à haute pression, lorsque les effets gravitationnels peuvent être négligés :

${\displaystyle \Delta E\,=\,\Delta \left(p\,+\,{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}\,\rho \,v^{2}\right).}$

Pour les écoulements en canal ouvert, ΔE est lié à la perte de charge totale ΔH comme [1]:

${\displaystyle \Delta E\,=\,\rho \,g\,\Delta H,}$ avec H la charge totale[4] : ${\displaystyle H\,=\,h\,+\,{\frac {v^{2}}{2g}},}$

où h est la charge hydraulique (la hauteur de la surface libre au-dessus d'une référence : h = z + p/ρg ).

Pour l'élargissement soudain d'un tuyau, voir la figure ci-dessus, l'équation de Borda-Carnot peut être dérivée des lois de conservation de la masse et de la quantité de mouvement de l'écoulement. Le flux de quantité de mouvement S à travers une section transversale de la zone A (c'est-à-dire pour la composante de quantité de mouvement du fluide parallèle à l'axe du tuyau) est, selon les équations d'Euler :

${\displaystyle S=A\,\left(\rho \,v^{2}+p\right).}$

En considérant la conservation de la masse et de la quantité de mouvement pour un volume de contrôle délimité par la section 1 juste en amont de l'élargissement, la section 2 en aval de l'endroit où l'écoulement recolle de nouveau à la paroi du tuyau (après la séparation de l'écoulement), et le paroi du tuyau. Il y a un gain de quantité de mouvement S₁ du volume de contrôle à l'entrée et une perte S₂ à la sortie. Par ailleurs, il y a aussi la contribution de la force F due à la pression statique exercée sur le fluide par la paroi (perpendiculairement à l'axe du tuyau) :

${\displaystyle F=(A_{2}-A_{1})\,p_{1},}$

où l'on a supposé que la pression était égale à la pression amont p₁ .

En ajoutant ces contributions, le bilan de quantité de mouvement pour le volume de contrôle entre les sections efficaces 1 et 2 donne :

${\displaystyle S_{1}-S_{2}+F=A_{1}\,\left(\rho \,v_{1}^{2}+p_{1}\right)-A_{2}\,\left(\rho \,v_{2}^{2}+p_{2}\right)+(A_{2}-A_{1})\,p_{1}=0.}$

Par conséquent, puisque par conservation de masse ρ A₁ v₁ = ρ A₂ v₂ :

${\displaystyle \Delta p=p_{1}-p_{2}=-\rho \,\left({\frac {A_{1}}{A_{2}}}\,v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)=-\rho \,{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\,\left(1-{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\right)\,v_{1}^{2},}$

en cohérence avec la perte de charge Δ p dans l'exemple ci-dessus.

La perte d'énergie mécanique Δ E est :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta E&=\left(p_{1}+{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v_{1}^{2}\right)-\left(p_{2}+{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v_{2}^{2}\right)=\Delta p+{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)\\&=-\rho \,v_{2}\,\left(v_{1}-v_{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,\left(v_{1}^{2}-2\,v_{1}\,v_{2}+v_{2}^{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2},\end{aligned}}}$

qui est l'équation de Borda–Carnot avec ξ = 1.

• Équation de Darcy-Weisbach
• Équation de Prony

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Borda–Carnot equation » (voir la liste des auteurs).