Équation d'Einstein

L’équation d'Einstein[1] ou équation de champ d'Einstein[2] (en anglais, Einstein field equation ou EFE), publiée par Albert Einstein, pour la première fois le 25 novembre 1915[3], est l'équation aux dérivées partielles principale de la relativité générale. C'est une équation dynamique qui décrit comment la matière et l'énergie modifient la géométrie de l'espace-temps. Cette courbure de la géométrie autour d'une source de matière est alors interprétée comme le champ gravitationnel de cette source. Le mouvement des objets dans ce champ est décrit très précisément par l'équation de sa géodésique.

Équation sur un mur à Leyde.

Histoire

L'équation d'Einsteinchap. 6,_§ 6.4_4-0">[4] - [5] - chap. 22,_§ 22.3_6-0">[6] - chap. 8,_sect._8.8.,_§ 8.8.2_7-0">[7] - [8] est l'équation fondamentale de la relativité généralechap. 22,_§ 22.3_6-1">[6] - [8] - chap. 9,_sect._9.1,_§ 9.1.7_9-0">[9]. Elle généralise l'équation de Poisson[10], forme locale de la loi de Newton[11]. Elle consiste en une équation tensoriellechap. 6,_§ 6.4_4-1">[4] - chap. 8,_sect._8.8.,_§ 8.8.2_7-1">[7] - chap. 9,_sect._9.1,_§ 9.1.7_9-1">[9] - [N 1] qui relie deux tenseurs§ 4.3.1_16-0">[15] — le tenseur d'Einstein§ 4.3.1_16-1">[15] et le tenseur énergie-impulsion§ 4.3.1_16-2">[15] — dont elle exprime la proportionnalité§ 4.3.1_16-3">[15]. Elle représente un ensemble d'équations différentielleschap. 5,_§ 5.3_17-0">[16] aux dérivées partielles hautementchap. 9,_introd._18-0">[17] - chap. 17,_introd._19-0">[18] non-linéaires du second ordre§ 6.5_20-0">[19].

Son éponyme est Albert Einstein (1879-1955) qui la présente, pour la première fois, le jeudi[20] 25 novembre 1915 à l'Académie royale des sciences de Prusse à Berlin. L'Académie publie la communication d'Einstein le jeudi suivant, 2 décembre, dans ses Comptes rendus[21].

Einstein généralisera l'équation en y ajoutant un terme, appelé constante cosmologique, qui apparaît pour la première fois dans un article soumis le 8 février 1917 et publié le 15 du même mois[21].

Forme mathématique de l'équation de champ d'Einstein

L'équation de champ d'Einstein est généralement écrite de la manière suivante[22] :

R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2}}\,g_{\mu \nu }\,R\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\kappa T_{\mu \nu }

où :

$R_{\mu \nu }$ est le tenseur de Riccicol. 1''s.v.''_Einstein_(équations_d')_24-0">[23] (dimension L^-2) ;
$R$ est la courbure scalairecol. 1''s.v.''_Einstein_(équations_d')_24-1">[23] (dimension L^-2) ;
$g_{\mu \nu }$ est le tenseur métriquecol. 1''s.v.''_Einstein_(équations_d')_24-2">[23] de signature (+,-,-,-) (sans dimension) ;
$\Lambda$ est la constante cosmologiquecol. 1''s.v.''_Einstein_(équations_d')_24-3">[23] (dimension L^-2) ;
$T_{\mu \nu }$ est le tenseur énergie-impulsioncol. 1''s.v.''_Einstein_(équations_d')_24-4">[23] (dimension énergie/volume) ;
$\kappa$ [24] est une constante de couplage[25] dimensionnée[26] - [27] - [28], dite constante gravitationnelle de couplage d'Einstein[29] ou, plus simplement, constante gravitationnelle d'Einstein[30] - [31] voire constante d'Einstein[32] - [33] - [34] - [35] : $\kappa ={\frac {8{\pi }G}{c^{4}}}$ (elle vaut ≈ 2,0766 10^-43 m J^-1 (ou N^-1), dans le Système international d'unités SI),

avec :

$\pi$ , le nombre pi ;
$G$ , la constante gravitationnelle (environ 6,674 2 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²) ;
$c$ , la constante de célérité, égale à la vitesse de la lumière dans le vide (exactement 299 792 458 m s⁻¹).

L'équation d'Einstein est une équation dans l'espace des tenseurs (covariants) symétriques de degré 2 sur une variété de dimension 4. Elle peut donc s'exprimer à l'aide de (4*5)/2 = 10 équations scalaires une fois qu'un système de coordonnées locales a été choisi. Par ailleurs, la première identité de Bianchi, qui est une équation dans l'espace des formes à valeurs vectorielles, peut s'exprimer à l'aide de 4 équations scalaires dans ce même système. L'équation d'Einstein comporte donc 10 - 4 = 6 équations indépendantes.

L'équation de champ d'Einstein est comprise comme une équation permettant de connaître le tenseur métrique $g_{ab}$ , étant donné une distribution de matière et d'énergie exprimée sous la forme d'un tenseur énergie-impulsion. Malgré son aspect simple, elle est en réalité relativement complexe, notamment du fait que le tenseur de Ricci et la courbure scalaire dépendent de la métrique.

$\Lambda$ , la constante cosmologique, a été introduite par Einstein pour permettre des solutions statiques au modèle cosmologique issu de l'équation d'Einstein. Par la suite, il a qualifié cette introduction de « plus grande erreur de sa vie ».

En définissant le tenseur d'Einstein

G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }

qui est un tenseur symétrique de rang 2 dépendant de la métrique et si l'on considère que $\Lambda$ = 0 (ce qu'Einstein a fini par admettre, mais qui est controversé aujourd'hui), il est possible d'écrire cette relation de manière plus compacte

G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.

En travaillant dans le système d'unités géométriques, où G = c = 1, on a :

G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,

La partie de gauche représente la courbure de l'espace-temps telle qu'elle est déterminée par la métrique et l'expression de droite représente le contenu masse/énergie de l'espace-temps. Cette équation peut alors être interprétée comme un ensemble d'équations décrivant comment la courbure de l'espace-temps est reliée au contenu masse/énergie de l'univers.

Ces équations, ainsi que l'équation de la géodésique, forment le cœur de la formulation mathématique de la relativité générale.

Propriétés de l'équation d'Einstein

Conservation de l'énergie et du moment

Une importante conséquence de l'équation d'Einstein est la conservation locale de l'énergie et du moment. Ce résultat apparaît en utilisant l'identité différentielle de Bianchi pour obtenir :

\nabla _{\nu }G^{\mu \nu }=G^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0

ce qui, en utilisant l'équation d'Einstein, donne :

\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0

qui exprime la conservation locale du tenseur énergie-impulsion.

Non-linéarité des équations de champ

L'équation d'Einstein donne lieu à 10 équations aux dérivées partielles non linéaires pour les composants métriques. Cette caractéristique de non-linéarité distingue la relativité générale de l'ensemble des autres théories physiques. Par exemple, les équations de Maxwell de l'électromagnétisme sont linéaires par rapport aux champs électriques et magnétiques (c'est-à-dire que la somme de deux solutions est aussi une solution). Un autre exemple est celui de l'équation de Schrödinger en mécanique quantique où l'équation est linéaire par rapport à la fonction d'onde.

Principe de correspondance

L'approximation des champs faibles et des mouvements lents permet de retrouver l'équation de Poisson de la gravitation de Newton :

\nabla {^{2}}\Phi =4\pi {G}{\rho }

où :

$\Phi$ est le potentiel gravitationnel ;
$\pi$ est le nombre pi ;
$G$ est la constante gravitationnelle ;
$\rho$ est la masse volumique.

La constante cosmologique

Il est possible de modifier l'équation des champs d'Einstein en introduisant un terme proportionnel à la métrique :

R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi }T_{\mu \nu }

(on précisera que cette équation est vraie dans un système d'unités géométriques tel que G = c = 1, sinon on doit lire : (8πG/c⁴)T_μν. La constante $\Lambda$ est appelée la constante cosmologique.

Cette constante cosmologique était à l'origine introduite par Einstein pour obtenir de son équation un univers statique (c'est-à-dire un univers qui ne soit pas en expansion ou en contraction). Cet effort fut un échec pour deux raisons : l'univers statique décrit par cette théorie était instable, et les observations des galaxies distantes par Hubble une décennie plus tard confirmèrent que notre univers n'est en fait pas statique mais en expansion. $\Lambda$ fut donc par la suite abandonné, et Einstein la qualifia de « la plus grande erreur de sa vie ».

Bien que la motivation d'Einstein pour l'introduction de cette constante ait été erronée, sa présence dans l’équation n'est pas inconsistante. En effet, récemment les techniques astronomiques améliorées ont permis d'affirmer qu'une valeur non nulle de $\Lambda$ est nécessaire pour expliquer certaines observations. L'existence d'une constante cosmologique est alors équivalente à l'existence d'une énergie du vide non nulle.

Solutions de l'équation dans le vide

Les solutions de l'équation d'Einstein sont les tenseurs métriques de l'espace-temps. Elles sont souvent appelées « métriques ». Elles décrivent la structure de l'espace-temps en incluant le mouvement inertiel des objets. En raison du caractère hautement non linéaire des équations, il n'existe pas de solution analytique générale pour une distribution quelconque de matièrechap. 9,_introd._18-1">[17] - chap. 17,_introd._19-1">[18]. Il n'existe que des solutions particulières pour des espaces-temps dotés de symétrieschap. 9,_introd._18-2">[17] - chap. 17,_introd._19-2">[18] ou des champs gravitationnels faibleschap. 17,_introd._19-3">[18]. Il n'existe pas de solution complète connue pour un espace-temps constitué de deux corps massifs (correspondant au modèle théorique d'un système binaire de deux étoiles par exemple). Cependant, des approximations sont généralement faites dans ces cas.

L'étude des solutions exactes des équations de champs d'Einstein est l'une des activités de la cosmologie. Elle a mené à la prédiction de l'existence de trous noirs et aux divers modèles de l'évolution de l'univers.

En relativité générale, le vide est une région de l'espace-temps dans laquelle le tenseur énergie-impulsion $T_{\mu \nu }$ est nul : $T_{\mu \nu }=0$ chap. 8,_§ 8.5_37-0">[36] - col. 2''s.v.''Einstein_(équations_d')_38-0">[37]. Dans le vide et en l'absence de constante cosmologiquecol. 2''s.v.''Einstein_(équations_d')_38-1">[37], l'équation d'Einstein s'écrit $R_{\mu \nu }=0$ chap. 8,_§ 8.5_39-0">[38] - col. 2''s.v.''Einstein_(équations_d')_38-2">[37].

Espace plat

Loin de toute source gravitationnelle, l'espace plat est une solution de cette équation, et la métrique de Minkowski s'applique. Cette dernière est la forme classique qu'on trouve dans le cadre de la relativité restreinte et les distances se mesurent à l'aide de la métrique : $ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}\ .$

On voit alors qu'on a :

$(g_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\$

Espace autour d'une masse sphérique

La métrique de Schwarzschild permet de décrire la déformation de l'espace-temps dans le vide autour d'une masse sphérique unique (par exemple une étoile). On a alors, pour $(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,r,\theta ,\phi )$ :

$(g_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}&0&0&0\\0&-{\frac {1}{1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}}}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\$

Espace autour d'un corps en rotation

La métrique de Kerr, pour sa part, décrit la déformation de l'espace-temps dans le vide autour d'un trou noir en rotation (en l'absence de champs électromagnétiques). Elle est l'œuvre en 1963 de Roy Kerr, mathématicien néo-zélandais. Contrairement à la métrique de Schwarzschild qui peut s'appliquer autour de tout corps sphérique et statique, la métrique de Kerr est spécifique aux trous noirs seulement et ne peut s'appliquer à d'autres corps en rotation. En prenant à nouveau un référentiel sphérique de l'espace-temps $(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(t,r,\theta ,\phi )$ (en prenant c=1) on a :

$(g_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}\left(1-{\frac {2Mr}{\Sigma }}\right)&0&0&{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\ \\0&-{\frac {\Sigma }{\Delta }}&0&0\\0&0&-\Sigma &0\\{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}&0&0&-\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {2a^{2}Mr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\right)\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\$

avec :

\Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \

\Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}\

Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

La métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker permet de décrire un espace-temps de géométrie homogène et isotrope.

Notes et références

Notes

En conséquence, l'équation est aussi connue comme l'équation tensorielle d'Einsteinintrod._12-0">[12] - [13] - chap. 10,_V.2.a)_14-0">[14].

Références

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Voir aussi

Publication originale

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Bibliographie

: document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

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Manuels de cours d'enseignement supérieur

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[Barrau et Grain 2016] Aurélien Barrau et Julien Grain, Relativité générale : cours et exercices corrigés, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup. / physique », août 2016, 2^e éd. (1^re éd. août 2011), 1 vol., VIII-231, ill., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-074737-5, EAN 9782100747375, OCLC 958388884, BNF 45101424, SUDOC 195038134, présentation en ligne, lire en ligne).
[Fabre, Antoine et Treps 2015] Claude Fabre, Charles Antoine et Nicolas Treps (préf. de Serge Haroche), Introduction à la physique moderne : relativité et physique quantique, Paris, Dunod, coll. « Sciences sup. / physique », mars 2015, 1^re éd., 1 vol., XVI-287, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-072021-7, EAN 9782100720217, OCLC 906024716, BNF 44272932, SUDOC 184688450, présentation en ligne, lire en ligne).
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[Gourgoulhon 2010] Éric Gourgoulhon (préf. de Thibault Damour), Relativité restreinte : des particules à l'astrophysique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », mai 2010, 1^re éd., 1 vol., XXVI-776, ill. et fig., 15,5 × 23 cm (ISBN 978-2-7598-0067-4 et 978-2-271-07018-0, EAN 9782759800674, OCLC 690639994, BNF 41411713, SUDOC 14466514X, présentation en ligne, lire en ligne).
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[Pérez 2016] José-Philippe Pérez (avec la collab. d'Éric Anterrieu), Relativité : fondements et applications, Paris, Dunod, hors coll., mai 2016, 3^e éd. (1^re éd. juin 1999), 1 vol., XXIII-439, ill. et fig., 17,7 × 24 cm (ISBN 978-2-10-077295-7, EAN 9782100772957, OCLC 1031317463, BNF 45033071, SUDOC 193153297, présentation en ligne, lire en ligne).

Ouvrages de vulgarisation

[Collion 2019] Stéphane Collion, Voyage dans les mathématiques de l'espace-temps : trous noirs, big-bang, singularités, Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Une introduction à... » (n^o 10), janv. 2019, 1^re éd., 1 vol., VIII-200, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-2279-9, EAN 9782759822799, OCLC 1085244403, BNF 45568170, SUDOC 233873899, présentation en ligne, lire en ligne).
[Einstein] Albert Einstein, La Relativité, Petite Biblio Payot Classiques.
[Michaud 2001] Yves Michaud (dir.), Qu'est-ce que l'Univers ?, Paris, O. Jacob, coll. « Université de tous les savoirs » (n^o 4), janv. 2001, 1^re éd., 1 vol., 987-[16], ill., 24 cm (ISBN 2-7381-0917-9, EAN 9782738109170, OCLC 46401532, BNF 37757639, SUDOC 055607373, présentation en ligne, lire en ligne).

Dictionnaires et encyclopédies

[Taillet, Villain et Febvre 2013] R. Taillet, L. Villain et P. Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Sup., hors coll., fév. 2013, 3^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-899, ill. et fig., 24 cm (ISBN 978-2-8041-7554-2, EAN 9782804175542, OCLC 842156166, BNF 43541671, SUDOC 167932349, lire en ligne), s.v.Einstein (équations d'), p. 229, col. 2.

Liens externes

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- Britannica
(en) Einstein's field equations (équations de champ d'Einstein) sur l'Etymological Dictionary of Astronomy and Astrophysics de l'Observatoire de Paris.
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