Éconophysique

Considérons un système de ${\displaystyle N}$ agents économiques. On appelle ${\displaystyle \epsilon _{i}>=0}$ la somme de monnaie de l'agent ${\displaystyle i}$. On découpe le système par bandes de richesse de largeur ${\displaystyle \delta }$. ${\displaystyle N_{0}}$ est le nombre d'agents dans la bande 0 ayant une quantité de monnaie comprise entre ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle \delta }$, ${\displaystyle N_{1}}$ entre ${\displaystyle \delta }$ et ${\displaystyle 2\delta }$, …, ${\displaystyle N_{k}}$ entre ${\displaystyle k\delta }$ et ${\displaystyle (k+1)\delta }$. La configuration détaillée du système est donnée par la suite ${\displaystyle N_{0},N_{1},...,N_{k},...}$. Une distribution simple est que tous les agents aient la même quantité de monnaie ${\displaystyle m}$. C'est-à-dire qu'il existe une bande k telle que ${\displaystyle N_{0}=0,N_{1}=0,...N_{k-1}=0,N_{k}=N,N_{k+1}=0,...}$. La multiplicité du système est donnée par le nombre de permutations d'agents entre les bandes de richesse gardant constante le nombre d'agents dans chaque bande de richesse

${\displaystyle \Omega ={\frac {N!}{N_{1}!N_{2}!N_{3}!...}}}$

L'entropie du système ${\displaystyle S}$ est le logarithme de la multiplicité. En utilisant la formule de Stirling d'approximation des factorielles pour les grands nombres on peut montrer que

${\displaystyle S/N=-\sum _{k}{\frac {N_{k}}{N}}ln{\frac {N_{k}}{N}}=-\sum _{k}P_{k}lnP_{k}}$

avec ${\displaystyle P_{k}=N_{k}/N}$, la probabilité qu'un agent économique appartienne à la bande de richesse ${\displaystyle k}$. Si le système est isolé, i.e. la masse monétaire ${\displaystyle \sum _{i}\epsilon _{i}=E}$ est fixée, alors la distribution de probabilités ${\displaystyle P_{k}}$ qui maximisent l'entropie suit une loi exponentielle,

${\displaystyle P(\epsilon )=1/T\exp {-\epsilon /T},}$

avec la température égale à la quantité moyenne de monnaie pour un agent ${\displaystyle T=E/N}$. De plus on peut montrer qu'en partant d'une distribution quelconque de masse monétaire initiale, comme ${\displaystyle \epsilon _{i}=E/N}$, et en laissant évoluer le système tel qu'aléatoirement les agents économiques échangent de la monnaie de façon conservative, ${\displaystyle \epsilon _{i}+\epsilon _{j}=\epsilon _{i}'+\epsilon _{j}'}$, alors à chaque échange l'entropie augmente et la distribution de monnaie tend vers la loi exponentielle ${\displaystyle P}$. Un système isolé qui suit la loi maximisant l'entropie est dit à l'équilibre.

Le modèle évolue par saut discret passant de l'état ${\displaystyle S_{t}}$ à ${\displaystyle S_{t+1}}$.

Règle d'initialisation :

1. Chaque agent est sans emploi et possède une quantité M/N de monnaie
2. ${\displaystyle w_{1}=0.1*M/N}$, ${\displaystyle w_{2}=0.9*M/N}$

Règle de sélection :

1. sélectionner un agent a suivant une loi de probabilité uniforme.

Règle d'embauche

1. former l'ensemble des employeurs potentiels, H, constitué par les agents non-employés autre que l'agent actif
2. sélectionner un employeur c dans H suivant une fonction de probabilité qui pondère chaque agent par sa richesse
3. si la richesse de c, ${\displaystyle m_{c}}$ est supérieure au salaire moyen, alors c embauche l'agent actif.

Règle de consommation

1. sélectionner un agent b autre que l'agent actif a suivant une loi de probabilité uniforme
2. sélectionner une somme m suivant une loi uniforme sur l'intervalle ${\displaystyle [0,m_{b}]}$
3. transférer la somme m de l'agent b à la cagnotte V du marché.

Règle du marché

1. si l'agent actif a n'est pas sans emploi:
   1. sélectionner un montant m suivant une loi uniforme sur l'intervalle ${\displaystyle [0,V]}$
   2. si l'agent a est un employé transférer la somme m de la cagnotte V à son employeur
   3. si l'agent a est un employeur transférer la somme m de la cagnotte à l'agent a

Règle de licenciement

1. si l'agent actif a est un employeur, soit ${\displaystyle n_{a}}$ le nombre d'employés de l'agent a :
   1. déterminer le nombre u d’employés à licencier suivant la règle qu'aucun employé n'est licencié si ${\displaystyle m_{a}\geq n_{a}(w_{1}+w_{2})/2}$
   2. sélectionner suivant une loi uniforme u employés à licencier parmi les employés de l'agent a.

Règle des salaires

1. Si l'agent actif est un employeur :
   1. pour chaque employé e de l'agent a, sélectionner une somme w suivant une loi uniforme sur l'intervalle ${\displaystyle [w_{1},m_{2}]}$ et transférer la somme w de l'agent a vers l'agent e. Si l'agent a n'a pas la somme nécessaire choisir w suivant une loi uniforme sur l'intervalle ${\displaystyle [0,m_{a}]}$.

Règle de simulation

1. appliquer la Règle de sélection
2. appliquer la Règle d'embauche
3. appliquer la Règle de consommation
4. appliquer la Règle du marché
5. appliquer la Règle de licenciement
6. appliquer la Règle des salaires

Règle d'un mois

1. appliquer la Règle de simulation
2. répéter N fois

Les paramètres M et N ont essentiellement un rôle d'échelle, ils n'ont pas ou que peu d'impact sur la simulation pour peu que le nombre d'agents soit assez grand. Pour avoir une unité monétaire comparable à celles des sociétés développées il est nécessaire de choisir M/N plus grand que 1.

De par sa structure, ce modèle reproduit la division sociale en employeur, employé et chômeur. Avec le choix de la plage salariale comprise entre 10 % et 90 % de la richesse moyenne par agent, 71 % des agents sont employés, 12 % employeurs et 17 % sans emploi en moyenne sur un nombre suffisamment grand d'itérations de la Règle du mois (>1000)[9].

Le PIB, X, est la somme du chiffre d'affaires de toutes les entreprises sur une année (12 itérations de la Règle du mois). Soit W la somme des salaires payés aux employés, le PIB X se décompose en xw=W/X, la fraction du PIB correspondant aux revenus des employés, i.e. les salaires, et xp=1-xw, la fraction du PIB correspondant aux revenus des employeurs, i.e. les profits. xw fluctue autour d'une moyenne de 0,55 et xp autour d'une moyenne de 0,45 : des taux comparables aux données empiriques.

Plus intéressant, le modèle reproduit les distributions caractéristiques des revenus observées dans les économies des pays développés : un régime log-normal pour les bas revenus (90 % des agents, Gibrat index beta=1,42) et un régime Pareto pour les hauts revenus (10 % des agents, alpha = 1,3). Dans ce modèle la distribution log-normal n'est pas la conséquence d'un processus stochastique multiplicatif, une explication souvent avancée, mais résulte d'une superposition de la distribution des salaires, des faibles profits et de l'absence de revenu due au chômage. Si on considère la richesse de chaque agent mesurée par la quantité de monnaie en sa possession à la fin de l'année au lieu de la somme de ses revenus sur l'année, on observe toujours un régime Pareto pour les 10 % les plus riches mais que le régime bas est plus proche d'une loi exponentielle[10].

Ce modèle reproduit la distribution de la taille des entreprises mesurée en nombre d'employés qui est très proche d'une loi de Zipf, la distribution de la croissance d'une entreprise proche d'une loi de Laplace et la distribution du nombre de faillites par mois.

Ce modèle reproduit la distribution de la croissance du logarithme du PIB (corrigé par rapport à l'inflation) proche d'une loi de Laplace, ainsi que la distribution de la durée des récessions proche d'une loi exponentielle avec une durée moyenne des récessions de 1,2 année.

Le taux de profit est mesuré pour chaque entreprise par ${\displaystyle p=100(r/w-1)}$ avec r le chiffre d'affaires annuel et w la somme des salaires versés sur une année. La distribution des taux de profit suit une loi asymétrique à droite conforme aux distributions observées pour des économies réelles. Le taux de profit moyen est de 80 % et la taux médian de 64 %.

Si certaines valeurs résultant de la simulation peuvent s'écarter sensiblement des valeurs observées, ce modèle malgré sa simplicité reproduit des distributions observées pour l'économie réelle sur des grandeurs telles que les revenus, la croissance, les taux de profit, les récessions et le chômage. Le cœur de ce modèle étant la division sociale entre employé, employeur et sans-emploi, les auteurs concluent que les phénomènes de l'économie réelle qui causent des conflits politiques tels que le chômage, les inégalités de revenu et les récessions, ne sont pas des accidents ou des phénomènes transitoires mais sont la conséquence directe de l'organisation sociale de la production.

« A final and important implication is that the computational deduction outlined in this paper implies that some of the features of economic reality that cause political conflict, such as extreme income inequality and recessions, are necessary consequences of the social relations of production and hence enduring and essential properties of capitalism, rather than accidental, exogenous or transitory. »