Volume d'une boule

Le principe de la méthode d'exhaustion (attribuée à Eudoxe de Cnide) est un double raisonnement par l'absurde, supposant d'abord que le volume est supérieur à 4/3πR³, puis qu'il est inférieur, et à obtenir une contradiction dans chaque cas. Bien que cette démonstration soit rigoureuse, elle suppose de connaître déjà le résultat à établir ; avant la découverte du palimpseste d'Archimède, on ignorait comment il était parvenu à obtenir ceux du traité De la sphère et du cylindre.

Illustration du calcul du volume d'une boule par intégration

La méthode d'Archimède (redécouverte dans le palimpseste portant son nom) consiste à découper la boule en disques minces, donc des cylindres, dont on ajoute le volume (assimilé au produit de leur surface par leur épaisseur). En langage moderne, cela revient à calculer la limite d'une somme de Riemann, et donc à calculer une intégrale définie. Si l'on considère la variable h allant de –R à R, le cylindre correspondant à la hauteur h et d'épaisseur infinitésimale dh a pour rayon r_h vérifiant, d'après le théorème de Pythagore r_h² + h² = R² ; comme le volume de ce cylindre est π r_h² dh, on obtient comme volume de la boule

${\displaystyle V=\int _{-R}^{R}\pi (R^{2}-h^{2}){\rm {d}}h={\frac {4\pi R^{3}}{3}}.}$

De même et plus généralement, le volume d'une « calotte », portion de boule limitée par deux plans parallèles, à distance D ≤ 2R, et dont l'un est tangent à la sphère, est

${\displaystyle V_{D}=\int _{R-D}^{R}\pi (R^{2}-h^{2}){\rm {d}}h={\frac {\pi D^{2}(3R-D)}{3}}}$

(V_2R = V).

Plus généralement encore, le volume d'une « tranche » d'épaisseur D entre deux plans de cotes H et H' (où - R < H' < H < R), est

${\displaystyle V_{H,H'}=\int _{H'}^{H}\pi (R^{2}-h^{2}){\rm {d}}h={\frac {\pi D(3R^{2}-(H^{2}+HH'+H'^{2}))}{3}}}$(avec D = H-H' ).