Turbine Pelton

Dans le cas idéal sans frottement ni turbulence, l'énergie potentielle (${\displaystyle \ E_{p}=mgh}$) est convertie en énergie cinétique (${\displaystyle \ E_{c}={\frac {mV_{i}^{2}}{2}}}$) (théorème de Bernoulli). Ainsi

${\displaystyle \ V_{i}^{2}=2gH}$

${\displaystyle \ V_{i}={\sqrt {2gH}}}$

Supposons que tous les vecteurs de vitesse soient parallèles à l’axe du jet d'eau (on ignore les composantes orthogonales), que le fluide soit incompressible et que la section du jet reste constante. Par conservation de la masse, les vitesses - relativement à la roue - du jet à l’entrée (${\displaystyle \ V_{e}}$) et à la sortie (${\displaystyle \ V_{s}}$) sont opposées, soit ${\displaystyle \ V_{e}+V_{s}=0}$.

Avec ${\displaystyle \ V_{e}=V_{i}-V_{r}}$ et ${\displaystyle \ V_{s}=V_{f}-V_{r}}$ où ${\displaystyle \ V_{f}}$ est la vitesse de sortie du jet dans le référentiel de l’usine, il vient

${\displaystyle \ V_{f}=2V_{r}-V_{i}}$.

La vitesse optimale de la roue est obtenue lorsque toute l'énergie cinétique du jet est transférée, c'est-à-dire lorsque ${\displaystyle \ V_{f}=0}$. Finalement :

${\displaystyle \ V_{i}=2V_{r}}$.

D'après les seconde et troisième lois de Newton, la force F générée par le jet sur la roue est égale et opposée à l'impulsion ou à la variation de quantité de mouvement du fluide :

${\displaystyle F=-(m)(V_{f}-V_{i})=-(\rho Q)[(-V_{i}+2V_{r})-V_{i}]=-(\rho Q)[(-2V_{i}+2V_{r})]=2\rho Q(V_{i}-V_{r})~}$

avec (ρ) la densité de l'eau et (Q) le débit volumique. Si (D) est le diamètre de la roue, le couple s'écrit :

${\displaystyle T=F({\frac {D}{2}})=\rho QD(V_{i}-V_{r})}$

Le couple est maximum quand la roue est stoppée (${\displaystyle V_{r}=0}$, ${\displaystyle T=\rho QDV_{i}}$). Quand la roue est égale à la vitesse du jet, le couple est nul (${\displaystyle V_{r}=V_{i}}$).

La puissance P s'écrit :

${\displaystyle P=Fu=T\omega =2\rho Q(V_{i}-V_{r})V_{r}~}$

Le rendement est le rapport entre la puissance mécanique P et la puissance du jet :

${\displaystyle \eta ={\frac {P}{P}}_{i}={\frac {2\rho Q(V_{i}-V_{r})V_{r}}{\frac {\rho QV_{i}^{2}}{2}}}={\frac {4V_{r}(V_{i}-V_{r})}{V_{i}^{2}}}~}$

La vitesse de rotation ${\displaystyle \ \omega }$ (en tours par seconde) de l’axe liant la roue à l’alternateur est égale à

${\displaystyle \ \omega ={\frac {V_{r}}{\pi D}}}$ vu de la roue,

${\displaystyle \ \omega ={\frac {f}{2p}}}$ vu de l’alternateur.