Trajectoire d'un projectile

On considère un projectile lancé à la surface d'un corps dont le champ de pesanteur est considéré comme uniforme et on se situe dans un référentiel galiléen. Ainsi, la deuxième loi de Newton s'applique à notre système, et celle-ci nous dit que la somme des forces extérieurs qui s'appliquent sur le projectile est égale à la dérivée de sa quantité de mouvement. On a donc

${\displaystyle \sum _{i}{\vec {F}}_{i}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \left(m{\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} t}}}$

où ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}}$ est une force qui s'applique au projectile et ${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$ la quantité de mouvement du projectile.

Le projectile ne change pas de masse au cours de son lancer, ainsi on peut écrire que

${\displaystyle \sum _{i}{\vec {F}}_{i}=m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}}$.

Or, par définition, la dérivée de la vitesse par rapport au temps est l'accélération, donc ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {a}}}$, soit

${\displaystyle \sum _{i}{\vec {F}}_{i}=m{\vec {a}}}$.

D'autre part, toutes les forces sont négligeables par rapport au poids ${\displaystyle {\vec {P}}=m{\vec {g}}}$. On a donc

${\displaystyle \sum _{i}{\vec {F}}_{i}={\vec {P}}=m{\vec {g}}=m{\vec {a}}}$

d'où

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {g}}={\begin{pmatrix}0\\-g\\0\end{pmatrix}}}$.

On a donc le vecteur accélération du projectile. Pour déterminer son vecteur vitesse, il suffit de trouver la primitive du vecteur accélération par rapport au temps, soit

${\displaystyle {\vec {v}}={\begin{pmatrix}{C_{x}}_{v}\\-gt+{C_{y}}_{v}\\{C_{z}}_{v}\end{pmatrix}}}$ où ${\displaystyle {C_{x}}_{v}}$, ${\displaystyle {C_{y}}_{v}}$ et ${\displaystyle {C_{z}}_{v}}$ sont des constantes.

Schéma de la trajectoire du projectile.

Or à t=0, on a ${\displaystyle {\vec {v}}={\begin{pmatrix}{C_{x}}_{v}\\-g\times 0+{C_{y}}_{v}\\{C_{z}}_{v}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{C_{x}}_{v}\\{C_{y}}_{v}\\{C_{z}}_{v}\end{pmatrix}}={\vec {v_{0}}}}$.

Et on connaît les valeurs des composantes de ${\displaystyle {\vec {v_{0}}}}$. En effet, par trigonométrie, on sait que :

${\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {v_{0_{x}}}{v_{0}}}}$

${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {v_{0_{y}}}{v_{0}}}}$

${\displaystyle \cos(\beta )={\frac {v_{0_{z}}}{v_{0}}}}$

Ainsi ${\displaystyle {\vec {v_{0}}}={\begin{pmatrix}{C_{x}}_{v}\\{C_{y}}_{v}\\{C_{z}}_{v}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )v_{0}\\\sin(\alpha )v_{0}\\\cos(\beta )v_{0}\end{pmatrix}}}$ et donc

${\displaystyle {\vec {v}}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )v_{0}\\-gt+\sin(\alpha )v_{0}\\\cos(\beta )v_{0}\end{pmatrix}}}$

Nous avons donc établi le vecteur vitesse du projectile en fonction du temps. Or, par définition, la dérivée de la position en fonction du temps est la vitesse. Ainsi, en considérant que le projectile occupe le point P de ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, on définit les coordonnées horaires du projectile en déterminant le vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}}$ dont les composantes sont les primitives des composantes du vecteur ${\displaystyle {\vec {v}}}$.

On a alors

${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )v_{0}t+C_{x_{OP}}\\-{\frac {1}{2}}gt^{2}+\sin(\alpha )v_{0}t+C_{y_{OP}}\\\cos(\beta )v_{0}t+C_{z_{OP}}\end{pmatrix}}}$ où ${\displaystyle C_{x_{OP}}}$, ${\displaystyle C_{y_{OP}}}$ et ${\displaystyle C_{z_{OP}}}$ sont des constantes.

Or à t=0, on a ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}={\begin{pmatrix}C_{x_{OP}}\\C_{y_{OP}}\\C_{z_{OP}}\end{pmatrix}}}$ et on connaît la position du projectile. En effet, il part en x=z=0 d'une hauteur h, donc ${\displaystyle C_{x_{OP}}=0}$, ${\displaystyle C_{z_{OP}}=0}$ et ${\displaystyle C_{y_{OP}}=h}$.

D'où

${\displaystyle x(t)=\cos(\alpha )v_{0}t}$

${\displaystyle y(t)=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+\sin(\alpha )v_{0}t+h}$

${\displaystyle z(t)=\cos(\beta )v_{0}t}$.

On peut maintenant déterminer l'équation cartésienne du projectile, c'est-à-dire sa hauteur en fonction de la distance qu'il a parcouru.

On sait que

${\displaystyle x=\cos(\alpha )v_{0}t}$

donc, en isolant t, on a

${\displaystyle t={\frac {x}{\cos(\alpha )v_{0}}}}$.

Dès lors, en remplaçant cette expression de t dans l'expression de la composante y et z de l'équation horaire, on obtient l'équation cartésienne du projectile :

${\displaystyle y(x)=-{\frac {1}{2}}{\frac {gx^{2}}{\cos ^{2}(\alpha )v_{0}^{2}}}+\tan(\alpha )x+h}$

${\displaystyle z(x)=x{\frac {\cos(\beta )}{\cos(\alpha )}}}$.

On cherche ici à résoudre l'équation ${\displaystyle y(x)=0}$.

Or on sait que

${\displaystyle y(x)=-{\frac {1}{2}}{\frac {g}{\cos ^{2}(\alpha )v_{0}^{2}}}x^{2}+\tan(\alpha )x+h}$.

On peut donc résoudre l'équation. On remarque que l'expression de ${\displaystyle y(x)}$ est une fonction du second degré en x. On peut donc appliquer une résolution d'équation du second degré.

Donc le discriminant de ${\displaystyle y(x)}$ est :

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=\tan ^{2}(\alpha )-4\left(-{\frac {1}{2}}{\frac {g}{\cos ^{2}(\alpha )v_{0}^{2}}}\right)h=\tan ^{2}(\alpha )+{\frac {2gh}{\cos ^{2}(\alpha )v_{0}^{2}}}>0}$.

Donc ${\displaystyle y(x)=0}$ a deux solutions :

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-\tan(\alpha )-{\sqrt {\tan ^{2}(\alpha )+{\frac {2gh}{\cos ^{2}(\alpha )v_{0}^{2}}}}}}{-{\frac {g}{\cos ^{2}(\alpha )v_{0}^{2}}}}}\\&={\frac {\tan(\alpha )+{\sqrt {\tan ^{2}(\alpha )+{\frac {2gh}{\cos ^{2}(\alpha )v_{0}^{2}}}}}}{\frac {g}{\cos ^{2}(\alpha )v_{0}^{2}}}}={\frac {\cos ^{2}(\alpha )v_{0}^{2}}{g}}\left(\tan(\alpha )+{\sqrt {\tan ^{2}(\alpha )+{\frac {2gh}{\cos ^{2}(\alpha )v_{0}^{2}}}}}\right)\\&={\frac {\cos(\alpha )v_{0}}{g}}\left(v_{0}\sin(\alpha )+{\sqrt {(v_{0}\sin(\alpha ))^{2}+2gh}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {\cos(\alpha )v_{0}}{g}}\left(v_{0}\sin(\alpha )-{\sqrt {(v_{0}\sin(\alpha ))^{2}+2gh}}\right)}$

On ne retiendra que la solution d₁, qui est positive (car a est négatif).

On cherche ici le maximum d'une fonction, ce qui s'obtient en cherchant les racines de la dérivée de la hauteur, soit résoudre l'équation ${\displaystyle y'(x)=0}$. Or :

${\displaystyle y'(x)=-{\frac {g}{\cos ^{2}(\alpha )v_{0}^{2}}}x+\tan(\alpha ).}$

La résolution de cette équation linéaire donne donc :

${\displaystyle y'(x)=-{\frac {g}{\cos ^{2}(\alpha )v_{0}^{2}}}x+\tan(\alpha )=0\ \Longleftrightarrow \ x={\frac {\tan(\alpha )}{\frac {g}{\cos ^{2}(\alpha )v_{0}^{2}}}}={\frac {\cos ^{2}(\alpha )v_{0}^{2}}{g}}\tan(\alpha )={\frac {v_{0}^{2}\cos(\alpha )\sin(\alpha )}{g}}={\frac {v_{0}^{2}\sin(2\alpha )}{2g}}.}$

On définit ${\displaystyle F_{T}}$ comme la traînée que subit le projectile

${\displaystyle F_{T}=-k\ v^{\lambda }}$.

Alors ${\displaystyle {\vec {F_{T}}}}$, le vecteur représentant la traînée, s'écrit

${\displaystyle {\vec {F_{T}}}=-k\ v^{\lambda -1}\ {\vec {v}}}$.

On définit ${\displaystyle {\vec {P_{A}}}}$ comme le vecteur représentant la poussée d’Archimède qui s’exerce sur le projectile. On a donc

${\displaystyle {\vec {P_{A}}}=-\rho \ V\ {\vec {g}}}$.

On définit ${\displaystyle {\vec {P}}}$ comme le poids du projectile. On a donc

${\displaystyle {\vec {P}}=m{\vec {g}}}$.

On se place dans un référentiel galiléen. On suppose que la masse du projectile reste constante durant le vol.

Dès lors, d’après la deuxième loi de Newton, on peut écrire que

${\displaystyle \sum _{i}{\vec {F}}_{i}=m{\vec {a}}={\vec {P}}+{\vec {F_{T}}}+{\vec {P_{A}}}}$

soit

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {g}}+{\frac {\vec {F_{T}}}{m}}+{\frac {\vec {P_{A}}}{m}}}$.

Par la méthode d’Euler, nous avons

${\displaystyle {\vec {v}}\left(t+\Delta t\right)\approx {\vec {v}}\left(t\right)+{\vec {a}}\left(t\right)\Delta t}$.

Puis, avec O l’origine du repère et P le point du plan occupé par le projectile, de la même manière la méthode d’Euler dispose que

${\displaystyle {\vec {OP}}\left(t+\Delta t\right)\approx {\vec {OP}}\left(t\right)+{\vec {v}}\left(t\right)\Delta t}$.

On peut alors définir les suites ${\displaystyle \left(a_{x_{n}}\right)}$ et ${\displaystyle \left(a_{y_{n}}\right)}$ pour tout entier naturel ${\displaystyle n}$ par

${\displaystyle a_{x_{n}}=-{\frac {1}{m}}\ k\ v^{\lambda -1}\ v_{x_{n}}}$

${\displaystyle a_{y_{n}}=-g-{\frac {1}{m}}\ k\ v^{\lambda -1}\ v_{y_{n}}+{\frac {1}{m}}\ \rho \ V\ g}$

et les suites ${\displaystyle \left(v_{x_{n}}\right)}$ et ${\displaystyle \left(v_{y_{n}}\right)}$ pour tout entier naturel ${\displaystyle n}$ strictement positif par

${\displaystyle \left(v_{x_{n}}\right):\left\{{\begin{array}{ll}v_{x_{0}}=v_{i}\cos \left(\alpha \right)\\v_{x_{n}}=v_{x_{n-1}}+a_{x_{n-1}}t\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \left(v_{y_{n}}\right):\left\{{\begin{array}{ll}v_{y_{0}}=v_{i}\sin \left(\alpha \right)\\v_{y_{n}}=v_{y_{n-1}}+a_{y_{n-1}}t\end{array}}\right.}$

où ${\displaystyle v_{i}}$ désigne la vitesse initiale et où le réel ${\displaystyle t}$ est le facteur de précision.

Enfin, on définit les suites ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ et ${\displaystyle \left(y_{n}\right)}$ pour tout entier naturel ${\displaystyle n}$ par

${\displaystyle \left(x_{n}\right):\left\{{\begin{array}{ll}x_{0}=0\\x_{n+1}=x_{n}+v_{x_{n}}t\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \left(y_{n}\right):\left\{{\begin{array}{ll}y_{0}=h\\y_{n+1}=y_{n}+v_{y_{n}}t\end{array}}\right.}$