Théorie de Galois inverse

Le théorème fondamental de la théorie de Galois montre que des extensions ayant même groupe de Galois sont très semblables. La détermination de ce groupe apprend énormément sur la structure de l'extension, elle est cependant souvent délicate. Il apparaît alors naturel de se poser la question inverse.

Les groupes de Galois des extensions algébriques sont naturellement munis d'une structure de groupe profini. On peut montrer réciproquement, par une construction ad hoc, que tout groupe profini G est bien groupe de Galois d'une certaine extension algébrique[1] : soit F un corps (commutatif), on note K le corps des fractions rationnelles sur F en un ensemble d'indéterminées indicé par les éléments des groupes quotients de G par ses sous-groupes distingués ouverts. On peut alors montrer que l'extension K/K^G est alors une extension galoisienne de groupe de Galois G. Cependant, rien n'assure que K^G = F. Le problème de la théorie de Galois inverse devient : peut-on, via éventuellement une autre construction, obtenir K^G = F ?

Cette question peut donc se résumer :

• Soit un groupe fini (ou profini) et un corps, existe-t-il une extension galoisienne de ce corps ayant pour groupe de Galois ce groupe ?
• Soit un groupe fini (ou profini), existe-t-il une extension galoisienne de ℚ ayant pour groupe de Galois ce groupe[2] ? (le groupe sera alors dit réalisable).

Aucune de ces questions n'est actuellement résolue.

• Le groupe d'ordre 2 est réalisable : n'importe quelle extension quadratique convient, par exemple le corps ℚ(i) des rationnels de Gauss.
• Pour tout entier n > 0, le groupe (ℤ/nℤ)* des inversibles de l'anneau ℤ/nℤ (le cas précédent correspond à n = 3), est réalisable, par l'extension cyclotomique ℚ(r), où r est une racine primitive n-ième de l'unité.
• D'après le théorème fondamental de la théorie de Galois, tout quotient d'un groupe réalisable est réalisable (par une sous-extension).
• On déduit des deux points précédents que tout groupe abélien fini est réalisable[3], et qu'il l'est même par une sous-extension d'une extension cyclotomique (mais il ne faut confondre cette précision avec le théorème de Kronecker-Weber, beaucoup plus profond).

Démonstration

Soit G un groupe abélien fini. Alors G est un produit de groupes cycliques finis, c'est-à-dire qu'il existe une suite finie d'entiers naturels

${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}\quad {\text{tels que}}\quad G\simeq \prod _{i=1}^{k}\mathbb {Z} /a_{i}\mathbb {Z} .}$

Un théorème de Dirichlet assure que pour tout entier a, il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo a. On en déduit qu'il existe des entiers premiers distincts p₁, … , p_k tels que pour chaque indice i, a_i soit un diviseur de p_i – 1. Comme le groupe multiplicatif (ℤ/p_iℤ)* est cyclique d'ordre p_i – 1 (par primalité de p_i), ceci assure que le groupe additif ℤ/a_iℤ en est un quotient.

Comme les p_i sont premiers entre eux deux à deux, en notant n leur produit, on déduit du théorème chinois que l'anneau ℤ/nℤ est isomorphe au produit des ℤ/p_iℤ, d'où l'isomorphisme entre leurs groupes des inversibles :

${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}\simeq \prod _{i=1}^{k}(\mathbb {Z} /p_{i}\mathbb {Z} )^{*}.}$

On en déduit que G est un quotient de (ℤ/nℤ)*, le groupe de Galois de l'extension cyclotomique engendrée sur ℚ par une racine n-ième de l'unité, ce qui conclut.

Les résultats suivants sont maintenant démontrés :

• Tout groupe symétrique fini S_n est réalisable[2] par le corps de décomposition du polynôme (irréductible[4]) Xⁿ – X – 1[5]. (Il en résulte immédiatement que tout groupe fini est le groupe de Galois d'une extension galoisienne d'un corps de nombres.)
• Une preuve moins explicite[6] de la réalisabilité de S_n permet de montrer aussi[7] celle du groupe alterné A_n.
• Tout groupe résoluble fini est réalisable. Ce résultat[8] est dû à Igor Chafarevitch, dans une série de quatre articles parus en 1954.
• Parmi 26 groupes sporadiques, tous sont réalisables sauf peut-être le groupe M₂₃ de Mathieu[9]. En particulier, le groupe Monstre est réalisable[10].

Pour un groupe G donné, l'idée d'Emmy Noether[11] est de réaliser ce groupe comme le groupe de Galois d'une extension de ℚ(T). Ensuite, le théorème d'irréductibilité de Hilbert nous donne l'existence d'une infinité de valeurs rationnelles pour T pour lesquelles le groupe de Galois reste G[12].