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Rationnel de Gauss

En mathématiques, un rationnel de Gauss est un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont des nombres rationnels.

L'ensemble des rationnels de Gauss est donc

\{p+q\mathrm {i} \mid (p,q)\in \mathbb {Q} ^{2}\}.

C'est un sous-corps de ℂ, généralement noté ℚ( $i$ ) ou ℚ[ $i$ ].

Ces nombres tirent leur nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss.

Propriétés

ℚ( $i$ ) est le corps de rupture du polynôme X² + 1. C'est donc un corps quadratique imaginaire et un corps cyclotomique.
L'anneau des entiers de ℚ( $i$ ) est l'anneau ℤ[ $i$ ] des entiers de Gauss. Son discriminant est –4[1].
ℚ( $i$ ) n'est ni un corps totalement ordonnable, ni un espace complet pour la distance euclidienne usuelle, associée au module d'un nombre complexe (ou même pour n'importe quelle valeur absolue non triviale[2]).

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gaussian rational » (voir la liste des auteurs).

(en)) Ian Stewart, David O. Tall, Algebraic Number Theory, Chapman & Hall, 1979, (ISBN 0-412-13840-9). Chap.3.
(en) Keith Conrad, « Ostrowski's theorem for $Q(i)$ ».

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