Théorèmes de Dini

Le premier théorème de Dini peut être vu comme une version pour les intégrales de Riemann (intégrale des fonctions continues sur un segment) du théorème de convergence monotone.

Formellement, on dispose d'un espace topologique X, d'une suite de fonctions ${\displaystyle (f_{n}:X\to \mathbb {R} )}$, et l'on fait les hypothèses suivantes :

1. Continuité : les fonctions f_n et la fonction f sont continues sur X ;
2. Monotonie : la suite (f_n) est soit croissante (${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \,\forall x\in X\,f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$), soit décroissante (${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \,\,\forall x\in X\,\,f_{n+1}(x)\leq f_{n}(x)}$) ;
3. Compacité : X est compact et donc de tout recouvrement ouvert de X on peut extraire un sous-recouvrement fini ;
4. Convergence simple : pour tout x de X, la suite de réels (f_n(x)) converge vers f(x).

On en déduit alors que la suite (f_n) converge uniformément sur X vers f.

On fait donc les hypothèses suivantes :

1. Continuité : la fonction f est continue ;
2. Monotonie : pour tout entier n et pour tout couple (x, y) tel que ${\displaystyle a\leq x\leq y\leq b}$, on a : ${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n}(y)}$ ;
3. Convergence simple : pour tout x de [a, b], la suite de réels (f_n(x)) converge vers f(x)).

On en déduit que la suite (f_n) converge uniformément sur [a, b] vers la fonction f.

Bien que connu sous le nom de deuxième théorème de Dini dans l'enseignement francophone, il semble qu'en fait ce théorème soit dû à Pólya[1].

Généralisation[2] : la conclusion et la démonstration sont inchangées si l'on permet à [a, b] d'être un intervalle compact de ℝ au lieu de ℝ, c'est-à-dire si l'on autorise a = –∞ ou b = +∞ (la fonction f étant alors encore bornée, puisqu’elle prend des valeurs finies aux extrémités de l’intervalle).

La généralisation ci-dessus du deuxième théorème de Dini possède une application précieuse en probabilités et en statistique :

Une suite de fonctions de répartition qui converge simplement sur ℝ vers une fonction de répartition continue F, converge uniformément vers F sur ℝ.

En conséquence, la convergence uniforme des fonctions de répartition a lieu dans le cas du théorème central limite, où la fonction de répartition limite est celle de la loi normale et est, à ce titre, continue. Cela a des conséquences non anecdotiques en probabilités et statistique, comme le théorème central limite pour la médiane ou pour les processus de renouvellement.

Le premier théorème de Dini peut se déduire, via le lemme suivant, du théorème d'Ascoli, ou simplement d'une propriété fondamentale de l'équicontinuité qu'on utilise pour prouver ce dernier.

La convergence simple d'une suite monotone de fonctions continues vers une fonction continue implique son équicontinuité.

Notons que dans ce lemme purement local, l'espace de départ n'est pas supposé compact.

Quitte à remplacer les f_n par ±(f_n – f), on peut supposer que la suite (f_n)_n est décroissante et qu'elle converge simplement vers 0.

On a alors ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\forall x\in X,f_{n}(x)\geq 0.}$

Fixons un nombre réel ε > 0 et considérons les ensembles

${\displaystyle V_{n}(\varepsilon )=\{x\in X,\ f_{n}(x)<\varepsilon \}.}$

Par continuité des fonctions f_n, ces ensembles sont des ouverts (en fait il suffirait, dans le cas décroissant, de supposer les f_n semi-continues supérieurement et f semi-continue inférieurement). La convergence simple de (f_n) vers 0 se traduit par :

${\displaystyle X\subset \bigcup _{n\in \mathbb {N} }V_{n}(\varepsilon ).}$

Comme X est compact, on peut extraire un sous-recouvrement fini ; il existe donc un entier N_ε tel que

${\displaystyle X\subset \bigcup _{n\leq N_{\varepsilon }}V_{n}(\varepsilon ).}$

Par monotonie, la suite (V_n(ε)) est croissante. Il vient donc :

${\displaystyle X=V_{N_{\varepsilon }}(\varepsilon ).}$

À nouveau, en utilisant l'hypothèse de monotonie : ${\displaystyle \forall n\geq N_{\varepsilon },\,f_{n}(x)\leq f_{N_{\varepsilon }}(x)<\varepsilon }$, on déduit donc que la convergence de (f_n) vers 0 est uniforme sur X.

Soit un réel ε > 0. La fonction f est non seulement (par hypothèse) continue de [a, b] dans ℝ (donc bornée) mais aussi croissante (comme limite simple de fonctions croissantes).

En choisissant un entier k > (f(b) – f(a))/ε, il existe — d'après le théorème des valeurs intermédiaires — une subdivision a = a₀ < a₁ < … < a_{k – 1} < a_k = b de [a, b] telle que ${\displaystyle \forall i=0,\ldots ,k-1,f(a_{i+1})-f(a_{i})<\varepsilon .}$

Pour tout x ∈ [a, b], soit i tel que a_i ≤ x ≤ a_{i + 1}. La croissance de f et des f_n et le choix de la subdivision impliquent (pour tout entier n) ${\displaystyle f_{n}(x)-f(x)\leq f_{n}(a_{i+1})-f(a_{i})<f_{n}(a_{i+1})-f(a_{i+1})+\varepsilon }$ et ${\displaystyle f_{n}(x)-f(x)\geq f_{n}(a_{i})-f(a_{i+1})>f_{n}(a_{i})-f(a_{i})-\varepsilon .}$

Par convergence simple, il existe un entier N_ε tel que ${\displaystyle \forall n\geq N_{\varepsilon },\forall i=0,\dots ,k,|f_{n}(a_{i})-f(a_{i})|<\varepsilon .}$

Les inégalités précédentes donnent alors : ${\displaystyle \forall n\geq N_{\varepsilon },\forall x\in [a,b],|f_{n}(x)-f(x)|<2\varepsilon }$

donc la convergence de (f_n) vers f est uniforme sur [a, b].

Notons (F_n) la suite de fonctions de répartition qui converge vers F et prolongeons ces fonctions à ℝ par leurs limites en ±∞ en posant : ${\displaystyle F_{n}(-\infty )=F(-\infty )=0{\text{ et }}F_{n}(+\infty )=F(+\infty )=1.}$

Les trois hypothèses (croissance des F_n, continuité de F et convergence simple) sont préservées lors de cette opération et la convergence uniforme de F_n vers F en découle.

Supposons, comme dans la preuve du premier théorème, que la suite (f_n) est décroissante et converge simplement vers 0.

Fixons un point x de X et un nombre réel ε > 0. Puisque f_n(x) tend vers 0, il existe un entier n tel que f_n(x) < ε.

Par continuité en x de f₀, … , f_n, il existe un voisinage V de x tel que pour tout point y de V,

${\displaystyle \forall k\leq n,|f_{k}(y)-f_{k}(x)|<\varepsilon .}$

On en déduit en particulier f_n(y) < 2ε, d'où (par décroissance de la suite (f_n))

${\displaystyle \forall k\geq n,-\varepsilon <0-f_{n}(x)\leq f_{k}(y)-f_{k}(x)\leq f_{n}(y)-0<2\varepsilon ,}$

si bien que finalement

${\displaystyle \forall y\in V,\forall k,|f_{k}(y)-f_{k}(x)|<2\varepsilon ,}$

ce qui prouve l'équicontinuité au point x de la suite (f_n).