Théorème du point fixe de Lefschetz

Soit f : X → X une application continue d'un espace compact triangulable X dans lui-même. On définit le nombre de Lefschetz Λ_f de f comme la somme alternée (finie) des traces des endomorphismes induits par f sur les espaces H_k(X, ℚ) d'homologie singulière de X à coefficients rationnels :

${\displaystyle \Lambda _{f}:=\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\rm {Tr}}{\big (}f_{*}|H_{k}(X,\mathbb {Q} ){\big )}.}$

Une version simple d'énoncé du théorème de Lefschetz est que si ce nombre Λ_f est non nul, alors il existe au moins un point x fixe par f, c'est-à-dire tel que f(x) = x.

Remarques :

• toute application homotope à f aura alors même nombre de Lefschetz donc aura aussi au moins un point fixe ;
• la réciproque est fausse : Λ_f peut être nul même si f a des points fixes.

Une version plus forte du théorème, aussi connue sous le nom de théorème de Lefschetz-Hopf[3], est que si l'ensemble Fix(f) des points fixes de f est fini, alors le nombre de Lefschetz de f est la somme de leurs indices i(f,x)[4] :

${\displaystyle \Lambda _{f}=\sum _{x\in {\rm {Fix}}(f)}i(f,x).}$

L'application identité d'un CW-complexe fini X induit, sur chaque espace d'homologie H_k(X, ℚ), l'endomorphisme identité, dont la trace est la dimension de cet espace. Ainsi, le nombre de Lefschetz de l'application identité de X est la somme alternée des nombres de Betti de X, qui n'est autre que la caractéristique d'Euler χ(X) :

${\displaystyle \Lambda _{{\rm {id}}_{X}}=\chi (X).}$

Le théorème du point fixe de Lefschetz généralise celui de Brouwer, selon lequel toute application continue de la boule unité fermée Bⁿ dans elle-même a au moins un point fixe.

En effet, cette boule est compacte et triangulable, tous ses groupes d'homologie sont nuls sauf son H₀ et pour toute application continue f : Bⁿ → Bⁿ, l'endomorphisme f_✲ de H₀(Bⁿ, ℚ) = ℚ est l'identité donc Λ_f = 1.

Quand il présente son théorème en 1926[1], Lefschetz s'intéresse moins aux points fixes d'une fonction qu'à ce qu'on appelle aujourd'hui les points de coïncidence de deux fonctions f et g, c'est-à-dire les points x tels que f(x) = g(x).

Le nombre de coïncidence de Lefschetz Λ_f,g de deux applications f et g, d'une variété orientable X vers une variété orientable Y de même dimension, est défini par

${\displaystyle \Lambda _{f,g}=\sum (-1)^{k}{\rm {Tr}}\left(D_{X}\circ g^{*}\circ D_{Y}^{-1}\circ f_{*}|H_{k}(X,\mathbb {Q} )\right)}$

où f_✲ est comme ci-dessus, g^✲ est l'application induite par g sur la cohomologie à coefficients rationnels, et D_X et D_Y sont les isomorphismes de dualité de Poincaré pour X et Y.

Lefschetz démontre que si Λ_f,g est non nul, alors f et g coïncident en au moins un point. Il remarque en corollaire (en prenant Y = X et g = id_X) ce que nous appelons son théorème du point fixe.