Théorème des six exponentielles

On note ℚ le corps des rationnels et L le ℚ-espace vectoriel des « logarithmes de nombres algébriques », c'est-à-dire l'ensemble des nombres complexes dont l'exponentielle est un nombre algébrique. Le théorème des six exponentielles dit que si, dans une matrice 3×2 à coefficients dans L, chaque ligne et chaque colonne est ℚ-libre (ou, ce qui revient au même : ℤ-libre), alors cette matrice est de rang 2 sur ℚ :

Le théorème des six exponentielles n'a été officiellement formulé et démontré que dans les années 1960, indépendamment, par Lang[2] et Ramachandra[3]. Cependant, Lang admet[1] « qu'il peut être considéré comme un corollaire d'un résultat de Schneider[4], et que Siegel [son directeur de thèse] le connaissait[5] ». En effet, dans un article de 1944, Leonidas Alaoglu et Paul Erdős s'appuient sur une communication privée de Siegel à ce sujet pour démontrer que le rapport de deux nombres colossalement abondants consécutifs est toujours soit premier, soit semi-premier ; plus précisément, ils utilisent le cas particulier suivant du théorème[6] : si q, r et s sont trois nombres premiers distincts et x un réel alors « q^x, r^x et s^x ne peuvent pas être simultanément rationnels sauf si x est un entier[5] ». Par exemple si 2^x, 3^x et 5^x sont simultanément rationnels[7] (donc algébriques) alors, puisque (x₁, x₂, x₃) := (log 2, log 3, log 5) est libre, (y₁, y₂) :=(1, x) est lié, c'est-à-dire que x est rationnel (donc entier, puisque 2^x est rationnel).

Un théorème similaire mais plus fort est le suivant :

Il est à son tour impliqué par la conjecture des quatre exponentielles, toujours ouverte, qui prévoit que

Autrement dit[10] : le même résultat que le théorème des six exponentielles mais pour une matrice 2×2.

Un autre théorème, qui implique celui des cinq exponentielles, est le suivant :

Le théorème des cinq exponentielles s'ensuit en posant β_ij = 0 pour chaque (i, j) ≠ (1, 3), β₁₃ = γ, y₃ = γ/x₁, et en appliquant le théorème de Baker à (x₁y₁, x₁y₂)[11].

Il y a également une version pointue du théorème des cinq exponentielles. C'est la conjecture suivante, qui impliquerait le théorème pointu des six exponentielles :

Une conséquence de cette conjecture serait la transcendance — pas encore démontrée — de e^π2, en posant x₁ = y₁ = β₁₁ = 1, x₂ = y₂ = iπ, et α = β₁₂ = β₂₁ = β₂₂ = γ = 0.

Les théorèmes et conjectures dans ce domaine existent également dans leurs versions fortes.

On note ici L* l'espace vectoriel engendré, sur le corps ℚ des nombres algébriques, par 1 et l'ensemble L des « logarithmes de nombres algébriques ». Le théorème suivant, démontré par Damien Roy[13], implique le théorème pointu des six exponentielles :

Autrement dit[13] : si, dans une matrice 2×3 à coefficients dans L*, chaque ligne et chaque colonne est ℚ-libre, alors cette matrice est de rang 2 sur ℚ.

La conjecture suivante, formulée par Michel Waldschmidt[15], impliquerait à la fois le théorème fort des six exponentielles et la conjecture pointue des cinq exponentielles :

La conjecture suivante, qui étend le théorème de Baker, impliquerait toutes les conjectures et tous les théorèmes ci-dessus[16] :

La fonction exponentielle e^z uniformise la fonction exponentielle sur le groupe multiplicatif G_m. Par conséquent, on peut reformuler le théorème des six exponentielles de façon plus abstraite comme suit :

Soit ${\displaystyle G=G_{m}\times G_{m}}$ et soit ${\displaystyle u:C\rightarrow G(C)}$ un homomorphisme de groupes non nul analytique sur C. Soit L l'ensemble des nombres complexes z pour lesquels u(z) est un point algébrique de G. Si un ensemble générateur minimal de L sur ℚ a plus de deux éléments, alors l'image u(C) est un sous-groupe algébrique de G(C).

L'énoncé du théorème des six exponentielles peut ainsi être généralisé à une variété arbitraire de groupes commutatifs G sur le corps des nombres algébriques.

On peut aussi prendre ${\displaystyle G=G_{m}\times G_{m}\times G_{m}}$ et remplacer « plus de deux éléments » par « plus d'un élément » ; on obtient ainsi une autre variante de la généralisation. Cependant cette « conjecture généralisée des six exponentielles » semble encore hors d'atteinte dans l'état actuel de la théorie des nombres transcendants.

Dans les cas particuliers, mais intéressants, où ${\displaystyle G=G_{m}\times E}$ et ${\displaystyle G=E\times E'}$ , et où ${\displaystyle E,E'}$ sont des courbes elliptiques sur le corps des nombres algébriques, des résultats en direction de la conjecture des six exponentielles généralisées ont été prouvés par Aleksander Momot[17]. Ces résultats impliquent la fonction exponentielle e^z et une fonction de Weierstrass ${\displaystyle \wp }$ resp. deux fonctions de Weierstrass ${\displaystyle \wp ,\wp '}$ avec des invariants algébriques ${\displaystyle g_{2},g_{3},g_{2}',g_{3}'}$, au lieu des deux fonctions exponentielles e^y₁z, e^y₂z dans l'énoncé classique.

Soit ${\displaystyle G=G_{m}\times E}$ et supposons que ${\displaystyle E}$ n'est pas isogène (en) à une courbe sur un corps réel et que u(C) n'est pas un sous-groupe algébrique de G(C). Alors L est engendré sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ soit par deux éléments ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$, soit par trois éléments ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ qui ne sont pas tous contenus dans une droite réelle ${\displaystyle \mathbb {R} (c)}$, où ${\displaystyle c}$ est un nombre complexe non nul. Un résultat similaire existe pour ${\displaystyle G=E\times E'}$ G. = E × E′[17].

• Algèbre des périodes
• Théorème du sous-groupe analytique (en)