Théorème d'inversion de Lagrange

Si on prend x = 0 et f(z) = ^z⁄_h(z) où h est une fonction analytique telle que h(0) = 0 et h'(0) ≠ 0, on obtient la relation y = h(z) et la formule d'inversion de Lagrange permet d'obtenir la série de Taylor de la fonction h⁻¹, à savoir :

${\displaystyle z=h^{-1}(y)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{k-1}\left({\frac {x}{h(x)}}\right)^{k}}$

les dérivées étant calculées en x = 0.

Plus précisément, soit f une fonction (de variable complexe) analytique au point a telle que f '(a) ≠ 0. On peut alors résoudre l'équation en w, f(w) = z pour z appartenant à un voisinage de f(a), obtenant w = g(z), où g est analytique au point b = f(a). On dit que g est obtenu par inversion de série.

Le développement en série de g est donné par[1]

${\displaystyle g(z)=a+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\lim _{w\to a}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} w^{\,n-1}}}\left({\frac {w-a}{f(w)-b}}\right)^{n}\right){\frac {(z-b)^{n}}{n!}}\right).}$

Cette formule est en fait valable pour des séries formelles, et peut se généraliser de diverses façons : pour des fonctions de plusieurs variables, pour le cas où f '(a) = 0 (l'inverse g étant alors une fonction multivaluée), et pour des extensions à des algèbres d'opérateurs, comme pour l'exponentielle ou le logarithme de matrices.

Ce théorème fut démontré par Lagrange[2] et généralisé par Hans Heinrich Bürmann (en)[3] - [4] - [5] à la fin du XVIII^e siècle. On peut l'obtenir à l'aide de la théorie (plus tardive) de l'intégrale de contour, mais c'est en réalité un résultat purement formel, dont on peut donner une preuve directe[6].

Un cas particulier du théorème, utilisé en combinatoire analytique, correspond à f(w) = w/ϕ(w) et ϕ(0) ≠ 0. Prenant a = 0 et b = f(0) = 0, on obtient

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} w^{n-1}}}\left({\frac {w}{w/\phi (w)}}\right)^{n}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} w^{n-1}}}\phi (w)^{n}\right)\right)z^{n},}$

ce qui peut aussi s'écrire

${\displaystyle [z^{n}]g(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}]\phi (w)^{n},}$

où [w^r] désigne le coefficient de w^r dans l'expression qui le suit.

Une généralisation utile de cette formule est connue comme la formule de Lagrange–Bürmann :

${\displaystyle [z^{n}]H(g(z))={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](H'(w)\phi (w)^{n})}$,

où H peut être une série formelle ou une fonction analytique arbitraire, par exemple H(w) = w^k.

La fonction W de Lambert est la fonction W(z) définie par l'équation implicite

${\displaystyle W(z)\mathrm {e} ^{W(z)}=z.\,}$

Le théorème de Lagrange permet de calculer la série de Taylor de W(z) près de z = 0. Prenant f(w) = w e^w et a = b = 0, on remarque que

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\ \mathrm {e} ^{\alpha \,x}\,=\,\alpha ^{n}\,\mathrm {e} ^{\alpha \,x}}$

ce qui donne

${\displaystyle W(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} w^{\,n-1}}}\ \mathrm {e} ^{-nw}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\,=\,\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}\,{\frac {z^{n}}{n!}}=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+{\frac {125}{24}}z^{5}-\dotsb .}$

Le rayon de convergence de cette série est e^–1 (ce qui correspond à la branche principale de la fonction de Lambert).

On peut obtenir une série ayant un plus grand rayon de convergence par la même méthode : la fonction f(z) = W(e^z) – 1 vérifie l'équation

${\displaystyle 1+f(z)+\ln(1+f(z))=z.\,}$

Développant z + ln (1 + z) en série et inversant celle-ci, on obtient pour f(z + 1) = W(e^{z + 1}) – 1 :

${\displaystyle W(e^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-{\frac {47z^{6}}{1474560}}-{\frac {73z^{7}}{41287680}}+{\frac {2447z^{8}}{1321205760}}+O(z^{9}).}$

W(x) peut s'en déduire en substituant ln x – 1 à z dans cette série. Par exemple, prenant z = –1, on trouve W(1) = 0,567143 à 10^-6 près.

Soit B_n le nombre d'arbres binaires (non étiquetés) ayant n nœuds.

Retirer la racine d'un arbre le décompose en deux arbres plus petits ; on en déduit que la fonction génératrice ${\displaystyle B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}z^{n}}$vérifie l'équation fonctionnelle :

${\displaystyle B(z)=1+zB(z)^{2}.}$

Posant C(z) = B(z) – 1, cette équation se réécrit :

${\displaystyle z={\frac {C(z)}{(C(z)+1)^{2}}}.}$

On peut donc appliquer le théorème avec ϕ(w) = (w + 1)² :

${\displaystyle B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{2n \choose n-1}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}.}$

On en déduit que B_n est le n-ème nombre de Catalan.

Formule de Faà di Bruno

• (en) Eric W. Weisstein, « Lagrange Inversion Theorem », sur MathWorld
• (en) M. Müller, « Equation of Time - Problem in Astronomy », Acta Phys. Pol. A, vol. 88,‎ 1995 (lire en ligne) sur l'équation du temps contenant une application à l'équation de Kepler
• (en) Eric W. Weisstein, « Bürmann's Theorem », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Series Reversion », sur MathWorld
• (en) E. D. Solomentsev, « Bürmann-Lagrange series », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)