Équation du temps

Exemple d'analemme, pour Greenwich en 2006.
Latitude 51,4791° nord, colatitude = 38,5209°, longitude 0°[6]

L'évolution annuelle de l'équation du temps, en un lieu donné, peut être visualisée à l'aide d'une courbe appelée analemme ou courbe en 8, définie comme suit : chaque point de cette courbe représente une position du soleil (vrai) lorsqu'il est 12 h pour le soleil moyen, c'est-à-dire lorsque ce dernier passe au centre du diagramme. Les axes sont les suivants, avec des échelles différentes, de façon à mieux mettre en évidence la légère asymétrie de la courbe :

• l'axe horizontal représente l'azimut en degrés (180° correspond au sud). L'équation du temps se lit le long de cet axe, donc comme l'écart horizontal par rapport à la ligne 180°. Avec la convention de signe adoptée, elle est positive à gauche de la ligne 180°. La correspondance entre l'angle et le temps est 360° = 24 h, donc 1° = 4 minutes ;
• l'axe vertical représente la hauteur du Soleil au-dessus de l'horizon, liée aux variations de sa déclinaison ;
• le soleil moyen, midi moyen, se trouve au centre du diagramme (azimut = 180°, hauteur = 90° - latitude du lieu).

Sur l'exemple ci-contre[7] qui concerne Greenwich en Angleterre, le premier jour de chaque mois est affiché en noir, et les positions des solstices et équinoxes sont affichées en vert. On lit par exemple :

• le 3 novembre, avance maximale du soleil vrai sur le soleil moyen, et l'équation du temps, qui est négative, vaut - 16 min 23 s ;
• le 12 février, le retard est maximal, et l'équation du temps, qui est positive, vaut + 14 min 20 s ;
• au solstice d'hiver, vers le 21 décembre, la hauteur du Soleil est minimale et vaut 15,08° (hauteur au solstice d'hiver = colatitude du lieu - obliquité de l'écliptique = 38,52° - 23,44°) ;
• au solstice d'été, vers le 21 juin, la hauteur est maximale et vaut 61,96° (hauteur au solstice d'été = colatitude du lieu + obliquité de l'écliptique = 38,52° + 23,44°) ;
• aux équinoxes, le Soleil passe dans le plan de l'équateur et a, à ce moment-là, la même hauteur que le soleil moyen, égale à la colatitude du lieu.

Certains cadrans solaires sont dotés de leur analemme. Ils peuvent même donner directement le temps moyen, soit parce que les droites horaires sont transformées en courbes corrigées de l'équation du temps, soit parce que le gnomon a reçu une forme tenant compte de cette correction. Dans les deux cas, il faut tenir compte de la période de l'année ou disposer de deux cadrans.

Il ne faut pas confondre cet analemme avec la figure du même nom, qui lui est historiquement bien antérieure[8], et qui servait à tracer des cadrans solaires ou établir géométriquement la hauteur du Soleil. Elle résultait de la projection de la sphère céleste sur le plan méridien.

La forme de la courbe « équation du temps », c'est-à-dire la valeur des extrema et les instants où on les observe, ainsi que les instants où la courbe s'annule, évoluent très lentement au cours des années pour au moins deux raisons :

1. la Terre dans son mouvement autour du Soleil subit l'influence des autres planètes du système solaire, ce qui entraîne une variation de l'excentricité de son orbite, ainsi qu'une lente rotation de la ligne joignant le périhélie à l'aphélie de l'orbite, appelée ligne des apsides ;
2. la Terre, dans sa rotation sur elle-même, subit l'influence du couple (Lune, Soleil), ce qui entraîne une variation de son obliquité en inclinaison et direction ; ces phénomènes sont connus et décrits sous le nom de nutation en longitude, nutation en obliquité et précession des équinoxes.

Ces évolutions provoquent notamment un glissement relatif des dates des passages aux apsides par rapport à celles des solstices et des équinoxes, qui sont fixes par construction de l'année tropique. Sur une durée de 70 siècles, de l'an -2000 à + 5000, les extrema sont définis par le tableau suivant[9] :

Comme l'affirme la première loi de Kepler, la Terre décrit autour du Soleil une orbite elliptique dont le Soleil occupe un des foyers. La distance Terre-Soleil varie donc au cours de l'année : elle est minimale (147 100 000 km) vers le 3 janvier, au périhélie, maximale (152 100 000 km) début juillet, à l'aphélie, et égale à sa valeur moyenne vers début avril et vers début octobre. Ce seul fait suffirait à créer des variations car un même arc de trajectoire est vu sous un angle à peu près inversement proportionnel à la distance qui le sépare de l'observateur ; mais il s'y ajoute le fait que la vitesse de déplacement de la Terre sur son orbite varie : elle est maximale au périhélie (30,287 km/s) et minimale à l'aphélie (29,291 km/s). La deuxième loi de Kepler (loi des aires) précise que la vitesse angulaire du mouvement de la Terre autour du Soleil dans le plan de l'écliptique est inversement proportionnelle au carré de la distance Terre-Soleil.

Il résulte de la conjonction de ces deux phénomènes que l'angle que font les droites Terre-Soleil un jour à midi (heure solaire vraie) et le lendemain à la même heure varie de façon importante au cours de l'année puisqu'il est à peu près inversement proportionnel au carré de la distance Terre-Soleil. D'octobre à mars, l'angle que font ces droites est supérieur à la moyenne (d'environ 3,3 % début janvier), ce qui impliquerait (si l'obliquité de l'axe de la Terre ne venait pas compliquer les choses) que la Terre mette, chaque jour de cette période, plus de temps que le temps moyen pour effectuer la rotation complémentaire (jusque 8 s de plus), donc que, vu de la Terre, le soleil vrai prenne du retard (après avoir perdu son avance) au long de cette partie de l'année. D'avril à septembre, la situation est inversée ; on peut donc dire que, du seul fait de l'ellipticité de l'orbite de la Terre, le soleil vrai rattrape son retard puis prend de l'avance.

En première approximation, le retard dû à l'ellipticité varie sinusoïdalement avec une période d'une année, s'annule au périhélie et à l'aphélie, et est extrémal entre ces deux points (courbe bleue de la figure équation du temps). L'expression de ce retard, exprimé en minutes, est la suivante :

${\displaystyle \Delta T_{C}(d)=7{,}53\cos(B)+1{,}5\sin(B)=7{,}678\sin(B+1{},374)}$

Voir la définition de B(d) ci-dessous.

Ce schéma montre le plan de l'écliptique et celui de l'équateur céleste qui interceptent chacun un grand cercle sur une sphère virtuelle appelée sphère céleste.
L'intersection de ces deux plans définit l'axe vernal.
L'angle entre ces 2 plans est appelé l'obliquité.

Illustration des étapes nécessaires pour qu'un méridien terrestre donné retourne face au Soleil d'un jour au suivant (point de vue géocentrique)

On suppose ici pour simplifier que l'orbite de la Terre est circulaire. Même dans ce cas, le mouvement apparent du Soleil le long de l'équateur céleste n'est pas uniforme, par suite de l'inclinaison de l'axe de rotation de la Terre par rapport à son plan orbital.

La figure ci-contre montre les trois étapes du retour d'un méridien face au Soleil, en adoptant un point de vue géocentrique, c'est-à-dire la Terre étant fixe au centre de la figure et le Soleil orbitant autour de la Terre :

• une rotation complète (360°) de la Terre sur elle-même pour passer de 1 à 2 ;
• ce faisant, le Soleil a avancé sur son orbite autour de la Terre, et de ce fait la Terre montre ce même méridien non pas face au Soleil mais face aux étoiles lointaines, point 2 ;
• une rotation complémentaire de la Terre sur elle-même est alors nécessaire pour que le méridien soit à nouveau face au Soleil, point 3.

Le Soleil a avancé de façon régulière sur son orbite située dans le plan écliptique, alors que la rotation complémentaire de la Terre sur elle-même pour se remettre face au Soleil est mesurée dans le plan de l'équateur céleste. Il faut donc rapporter le mouvement du Soleil dans ce plan de l'équateur céleste pour apprécier le retard ou l'avance du temps solaire par rapport à une horloge régulière. C'est cette opération, appelée réduction à l’équateur, qui explique que le mouvement apparent du Soleil le long de l'équateur céleste n'est pas uniforme.

L'orbite étant supposée circulaire, le module du vecteur vitesse du Soleil est donc constant le long de son orbite. Une composante de ce vecteur est portée par l'axe vernal, l'autre est portée par un vecteur orthogonal à cet axe vernal et situé dans le plan écliptique. La première composante se projette sans modification sur le plan de l'équateur céleste, la seconde se projette avec un facteur de réduction égal au cosinus de l'obliquité. De façon intuitive, la somme de ces deux projections sur le plan de l'équateur céleste sera minimale sur l'axe vernal et maximale sur la quadrature de ce même axe. La variation de vitesse sera donc nulle en ces quatre points, et de même pour l'avance ou le retard.

En première approximation, il s'agit d'une sinusoïde de période une demi-année (courbe verte de la figure Équation du temps, cf. plus haut) qui s'annule quatre fois sur une année, en particulier à l'équinoxe de printemps. L'expression de ce retard dû à l'obliquité, exprimé en minutes, est le suivant :

${\displaystyle \Delta T_{R}(d)=-9{,}87\sin(2B)}$

Voir la définition de B(d) ci-dessous.

Une autre manière intuitive de comprendre la contribution de l’obliquité, est de considérer, sur la sphère céleste, d’une part le soleil réel, se déplaçant sur le plan de l’écliptique, et, d’autre part un soleil fictif, se déplaçant, sur le plan de l’équateur, à la même vitesse que le premier[10].

Imaginons que ces deux soleils coïncident au point vernal et analysons leurs mouvements respectifs à partir de ce point.

Le soleil réel s’élève au-dessus du plan de l’équateur. Sa trajectoire démarre sous un angle égal à l’obliquité du plan de l’écliptique, et s’incurve progressivement, réduisant peu à peu l'angle formé par rapport au plan de l’équateur. Après un quart de tour, elle se retrouve un instant parallèle à ce plan, avant de s’inverser et de s’incliner progressivement de plus en plus, jusqu’à rejoindre l’opposé du point vernal sous un angle à nouveau égal à l’obliquité du plan de l’écliptique.

Si l’on s’intéresse à l’intersection de la trajectoire des deux soleils avec les méridiens de la sphère céleste, on comprend intuitivement que le soleil réel ne croisera pas les méridiens au même moment que le soleil fictif, sauf en quatre points particuliers : au point vernal (1), au point qui lui est opposé (2), et aux deux points à mi-chemin entre les précédents (3 et 4). En effet, le soleil fictif coupe toujours les méridiens sous un angle de 90°, et là où la distance entre ces méridiens est la plus grande ; le soleil réel, par contre, coupe les méridiens sous un angle variable, inférieur à 90° (sauf en 3 et 4), et à une latitude variable, où la distance entre les méridiens, mesurée sur le parallèle, est inférieure à la distance entre les méridiens sur le plan de l’équateur (sauf en 1 et 2).

Autour du point vernal, l’inclinaison de la trajectoire du soleil réel est proche de l’obliquité, et la distance entre méridiens successifs est proche de celle sur l’équateur. Par conséquent, la distance à parcourir par le soleil réel pour atteindre le méridien suivant est plus grande que celle à parcourir par le soleil fictif, et, à vitesse égale sur la sphère céleste, il lui faut plus de temps. Cela veut aussi dire que la vitesse angulaire apparente du soleil réel, vu de la terre, est inférieure à celle du soleil fictif, et qu’il aura donc « tourné » moins, en un jour, que le soleil fictif. Le mouvement supplémentaire que la terre devra faire sur elle-même, après son tour complet, pour repositionner le méridien terrestre local exactement en face du soleil réel, sera moins important que pour repositionner celui-ci face au soleil fictif, et prendra moins de temps: le soleil réel est donc « en avance sur la montre ».

Au contraire, autour du point à 90° du point vernal, l’inclinaison de la trajectoire est proche de zéro, et la distance entre méridiens successifs est inférieure à celle sur l’équateur – on est à la latitude maximale sur la sphère céleste. Par conséquent, la distance à parcourir par le soleil réel pour atteindre le méridien suivant est inférieure à celle à parcourir par le soleil fictif, et, à vitesse égale sur la sphère céleste, il lui faut moins de temps. Cela veut aussi dire que la vitesse angulaire apparente du soleil réel, vu de la terre, est supérieure à celle du soleil fictif, et qu’il aura donc « tourné » plus, en un jour, que le soleil fictif. Le mouvement supplémentaire que la terre devra faire sur elle-même, après son tour complet, pour repositionner le méridien terrestre local exactement en face du soleil réel, sera plus important que pour repositionner celui-ci face au soleil fictif, et prendra plus de temps: le soleil réel est donc « en retard sur la montre ».

À un point intermédiaire, où la diminution de distance entre méridiens compense exactement l’influence de l’obliquité de la trajectoire, le soleil réel ne prend « ni retard ni avance supplémentaires sur la montre » - l’écart avec la montre est alors à son maximum.

L’avance cumulée du soleil réel croît donc chaque jour entre le point vernal et ce point intermédiaire, et décroît ensuite chaque jour jusqu’au point à 90° du point vernal, où cette avance s’annule.

Poursuivant le raisonnement, on comprend qu’entre ce point à 90° du point vernal et le point opposé au point vernal, le soleil réel accumule un retard qui croît jusqu’à un point intermédiaire et décroît ensuite jusqu’au point opposé du point vernal, où ce retard s’annule.

Le même raisonnement s’applique à la seconde moitié de l’année.

La somme des deux formules précédentes fournit une première approximation de l’équation du temps :

${\displaystyle \Delta T(d)=\Delta T_{C}(d)+\Delta T_{R}(d)}$,

c'est-à-dire :

${\displaystyle \Delta T(d)=7{,}678\sin(B+1{,}374)-9,87\sin(2B)}$

avec : ${\displaystyle B(d)={\frac {2\pi (d-81)}{365}}}$, exprimé en radians, dépend du numéro du jour de l'année :

${\displaystyle d=1}$ le 1^er janvier ; ${\displaystyle d=81}$ à l'équinoxe de printemps.

• Calcul de l'anomalie moyenne${\displaystyle M(d)=357,5291\ ^{\circ }+0,98560028\times d,}$

${\displaystyle d}$ est le nombre de jours (éventuellement fractionnaire) entre la date désirée et le 1/01/2000 à 12h00 TT: ce nombre peut être déterminé avec la technique des Jours Juliens

• Contribution de l'ellipticité de la trajectoire : c'est l'équation du centre en radian ${\displaystyle C(M)=\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin(M)+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin(2M)+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin(3M)}$où ${\displaystyle e=0,01671}$ représente l'excentricité de la trajectoire de la Terre autour du Soleil.

Application numérique :

${\displaystyle C(M)=1,9148\ ^{\circ }\sin(M)+0,0200\ ^{\circ }\sin(2M)+0,0003\ ^{\circ }\sin(3M)\,}$.

• Calcul de la longitude écliptique${\displaystyle \lambda _{s}=280,4665\ ^{\circ }+0,98564736\times d+C,}$.

la petite différence de période entre ${\displaystyle \lambda _{s}}$ et M est due à la précession des équinoxes.

• Contribution de l'obliquité de la Terre : c'est la réduction à l'équateur (en radian)${\displaystyle R(\lambda _{s})=(-y^{2})\sin(2\lambda _{s})+\left({\frac {1}{2}}y^{4}\right)\sin(4\lambda _{s})-\left({\frac {1}{3}}y^{6}\right)\sin(6\lambda _{s})\,}$où ${\displaystyle y=\tan(\epsilon /2)}$ ; ${\displaystyle \epsilon ={\rm {23,43929^{o}}}}$ représente l'inclinaison de l'axe de la Terre par rapport au plan de l'écliptique.

Application numérique :

${\displaystyle R(\lambda _{s})=-2,46569\ ^{\circ }\sin(2\lambda _{s})+0,0530\ ^{\circ }\sin(4\lambda _{s})-0,0014\ ^{\circ }\sin(6\lambda _{s})\,}$.

Équation du temps en degrés :

${\displaystyle E(d)=C+R}$, où C et R sont exprimés en degrés.

Équation du temps en minutes :

${\displaystyle \Delta T(d)=4\times E(d)}$, où E est exprimé en degrés.

La figure 1 montre la Terre ${\displaystyle T}$ qui tourne sur elle-même et qui tourne autour du Soleil ${\displaystyle S}$ en un an dans le plan de l'écliptique. La situation présentée correspond à l'automne. Le point ${\displaystyle P}$ est le périhélie, atteint au début du mois de janvier. L'angle ${\displaystyle \theta }$ s'appelle anomalie vraie. L'axe ${\displaystyle \gamma }$, appelé axe vernal ou point vernal, est l'intersection du plan de l'écliptique avec le plan équatorial. Il sert d'origine pour mesurer la longitude écliptique ${\displaystyle \lambda _{s}}$.

Figure 1

La figure 2 représente la Terre dans un repère fixe par rapport aux étoiles. L'obliquité ${\displaystyle \varepsilon }$ est l'angle entre le plan de l'écliptique et le plan de l'équateur.

Figure 2

Appelons ${\displaystyle t}$ le temps qui s'écoule. Considérons un point ${\displaystyle A\left(t\right)}$ fixé sur Terre et positionné sur l'équateur. Il fait donc un tour en un jour sidéral de façon régulière.

Partant du centre de la Terre, le point ${\displaystyle S\left(t\right)}$ est situé en direction du Soleil. Il se situe donc sur le cercle de l'écliptique. Le point ${\displaystyle S\left(t\right)}$ fait un tour en une année sidérale.

Comme l'orbite terrestre est elliptique et d'après les lois de Kepler, ${\displaystyle S\left(t\right)}$ ne tourne pas de façon régulière. Considérons le méridien passant par ${\displaystyle S\left(t\right)}$ et appelons ${\displaystyle B\left(t\right)}$ l'intersection de ce méridien avec l'équateur. Remarquons qu'il est midi solaire au point ${\displaystyle A}$ lorsque le point ${\displaystyle A\left(t\right)}$ traverse ce méridien (par exemple lorsque les points ${\displaystyle A\left(t\right)}$ et ${\displaystyle B\left(t\right)}$ coïncident).

Remarquons aussi qu'un jour solaire vrai est la durée qui sépare deux croisements de ${\displaystyle A\left(t\right)}$ et ${\displaystyle B\left(t\right)}$. Plus généralement l'heure solaire vraie est l'angle entre ${\displaystyle A\left(t\right)}$ et ${\displaystyle B\left(t\right)}$ :

${\displaystyle H_{V}\left(t\right)={\widehat {BA}}={\widehat {B\gamma }}+{\widehat {\gamma A}}}$

${\displaystyle H_{V}}$ est l'heure qu'indiquerait un cadran solaire.

Pour définir l'heure solaire moyenne, il faut se référer à des mouvements réguliers (moyennés). Nous avons vu que le point ${\displaystyle A\left(t\right)}$ a un mouvement régulier. Ce n'est pas le cas du point ${\displaystyle B\left(t\right)}$, ni même du point ${\displaystyle S\left(t\right)}$. À la place de ${\displaystyle S\left(t\right)}$ on considère un point virtuel ${\displaystyle {\tilde {S}}\left(t\right)}$ sur l'écliptique qui a un mouvement régulier et de même période (on verra que ${\displaystyle {\tilde {S}}\left(t\right)}$ est directement relié à l'anomalie moyenne ${\displaystyle M\left(t\right)}$).

Par conséquent l'heure solaire moyenne est :

${\displaystyle H_{M}\left(t\right)={\widehat {{\tilde {S}}\gamma }}+{\widehat {\gamma A}}}$.

Par définition l'équation du temps est la différence :

${\displaystyle E\left(t\right)=H_{M}-H_{V}={\widehat {{\tilde {S}}\gamma }}+{\widehat {\gamma B}}}$.

Or une relation de trigonométrie donne :

${\displaystyle \tan \left({\widehat {\gamma B}}\right)=\cos \varepsilon \tan \left({\widehat {\gamma S}}\right)}$.

En effet, projetons à partir du centre de la Terre le triangle sphérique ${\displaystyle S\gamma B}$ sur le plan tangent à la Terre au point vernal ${\displaystyle \gamma }$. Il devient un triangle rectangle d'angle ${\displaystyle \varepsilon }$ au sommet ${\displaystyle \gamma }$ et de côté adjacent ${\displaystyle a=\tan({\widehat {\gamma B}})}$ et d'hypoténuse ${\displaystyle h=\tan({\widehat {\gamma S}})}$. On déduit la relation ${\displaystyle a=h\cos \varepsilon }$.

On déduit :

${\displaystyle \tan \left({\widehat {\gamma {\tilde {S}}}}+E\right)=\cos \varepsilon \tan \left({\widehat {\gamma S}}\right)}$

et l'expression de l'équation du temps :

${\displaystyle E\left(t\right)=-{\widehat {\gamma {\tilde {S}}}}+\arctan \left(\cos \varepsilon \tan \left({\widehat {\gamma S}}\right)\right)}$.

• Dans cette dernière équation tout est connu. D'une part, d'après la figure 1, il apparaît que l'angle ${\displaystyle {\widehat {\gamma S}}}$ est relié à la longitude écliptique ${\displaystyle \lambda _{s}}$ par ${\displaystyle {\widehat {S\gamma }}+\lambda _{s}=({\widehat {{\overrightarrow {TS}},\gamma }})+({\widehat {\gamma ,{\overrightarrow {ST}}}})=\pi }$

et ${\displaystyle \lambda _{s}}$ elle-même est reliée à l'anomalie vraie ${\displaystyle \theta \left(t\right)}$ par ${\displaystyle \lambda _{s}=\theta +{\overline {\omega }}}$ où ${\displaystyle {\overline {\omega }}}$ est la longitude du périhélie. Donc

${\displaystyle {\begin{matrix}{\widehat {\gamma S}}&=&\theta \left(t\right)+{\overline {\omega }}-\pi &\simeq &\theta \left(t\right)+102.94\ ^{\circ }\end{matrix}}}$.

De même ${\displaystyle {\widehat {\gamma {\tilde {S}}}}}$ est relié à l'anomalie moyenne ${\displaystyle M\left(t\right)}$ par

${\displaystyle {\widehat {\gamma {\tilde {S}}}}=M\left(t\right)+{\overline {\omega }}-\pi }$.

• Traditionnellement on décompose ${\displaystyle E(t)}$ de la façon suivante : ${\displaystyle E\left(t\right)=\underbrace {\left({\widehat {\gamma S}}-{\widehat {\gamma {\tilde {S}}}}\right)} _{C}+\underbrace {\left(-{\widehat {\gamma S}}+\arctan \left(\cos \varepsilon \tan \left({\widehat {\gamma S}}\right)\right)\right)} _{R}}$.

Le premier terme, ${\displaystyle C}$, est appelé « contribution de l'ellipticité » ou équation du centre. On a : ${\displaystyle C=\left({\widehat {\gamma S}}-{\widehat {\gamma {\tilde {S}}}}\right)=\theta \left(t\right)-M\left(t\right)}$. ${\displaystyle C}$ est dû à l'ellipticité de l'orbite terrestre. Dans un modèle où la Terre aurait un mouvement circulaire et régulier, on aurait ${\displaystyle {\tilde {S}}=S}$ et seul le deuxième terme, ${\displaystyle R}$, appelé réduction à l'équateur et dû à l'obliquité ${\displaystyle \varepsilon }$, interviendrait. Remarquer que si on avait ${\displaystyle \varepsilon =0}$ (le Soleil en permanence dans le plan de l'équateur), ce dernier terme serait nul.

• À l'aide d'un développement limité, et en posant ${\displaystyle y=\tan {\frac {\varepsilon }{2}}\simeq 0.20}$, le terme de la réduction à l'équateur ci-dessus peut s'écrire

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=&\arctan \left(\cos \varepsilon \tan \left({\widehat {\gamma S}}\right)\right)-{\widehat {\gamma S}}\\&=&\arctan \left(\cos \varepsilon \tan \left(\lambda _{s}-\pi \right)\right)-\left(\lambda _{s}-\pi \right)\\&=&-\arctan \left({\frac {\sin \left(2\lambda _{s}\right)y^{2}}{1+y^{2}\cos \left(2\lambda _{s}\right)}}\right)\\&\simeq &-y^{2}\sin \left(2\lambda _{s}\right)+{\frac {1}{2}}y^{4}\sin \left(4\lambda _{s}\right)-{\frac {1}{3}}y^{6}\sin \left(6\lambda _{s}\right)+\ldots \\\end{aligned}}}$.

• Pierre-Simon de Laplace, Exposition du système du monde
• Jean Meeus et Denis Savoie, L’Équation du temps, in revue L'Astronomie, vol. 109, juin 1995, pp. 188-193.
• [Alhalel 2001] Thierry Alhalel, « La différence entre le temps solaire moyen et le temps solaire vrai : l'équation du temps », Bulletin de l'union des physiciens, vol. 95, n^o 838 (1),‎ novembre 2001, p. 1557-1577 (résumé, lire en ligne).
• [Sanfré 2007] Béatrice Sanfré, « L'équation du temps », Les Cahiers Clairaut, n^o 119,‎ automne 2007, p. 27-31 (résumé, lire en ligne).
• [Caillemer et Le Cocq 1983] André Caillemer et Catherine Le Cocq, Astronomie de position, géodésie, Paris, Technip, coll. « Publications de l'Institut français du pétrole / École nationale supérieure du pétrole et des moteurs / Centre d'études supérieures de prospection géologique et géophysique », 1983, 2^e éd. (1^re éd. 1971), 1 vol., 264-[1], ill., 24 cm (ISBN 2-7108-0439-5, EAN 9782710804390, OCLC 300395015, BNF 34716757, SUDOC 005732190, lire en ligne).
• [Berthier, Descamps et Mignard 2021] Jérôme Berthier, Pascal Descamps et François Mignard (dir.), Introduction aux éphémérides et phénomènes astronomiques : supplément explicatif à la Connaissance des temps, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et IMCCE, coll. « Références astronomiques », septembre 2021, 2^e éd., XXXII-1023 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-2414-4 et 978-2-910015-86-2, EAN 9782759824144, OCLC 1269479976, BNF 46879374, SUDOC 257269916, présentation en ligne, lire en ligne).

• Anomalie excentrique
• Anomalie vraie
• Anomalie moyenne
• Analemme
• Cadran solaire

• Temps solaire vrai, temps solaire moyen, équation du temps par l'Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides
• [PDF] L'équation du temps de Kepler
• (en) Article sur l'équation du temps
• Une animation pour illustrer le sujet
• Calculateur mondial de l'heure sur une carte OSM