Section torique

En généralité, les sections toriques sont des courbes planes du quatrième ordre (quartique) de la forme (réduite)

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+ax^{2}+by^{2}+cx+dy+e=0.}$

On se place dans le cas où le tore est centré à l'origine O et d'axe de rotation l'axe Oz, de rayons majeur et mineur a et b, coupé par le plan situé à une distance d de O, faisant un angle avec le plan horizontal xOy parallèlement à l'axe Ox, soit d'équation z = tan(α)(y –d). Alors une représentation paramétrique cartésienne de la section torique sur le plan de coupe est :

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} ,\ {\begin{cases}x&=\pm {\sqrt {(a+b\cos(t))^{2}-\left(d+b{\frac {\sin(t)}{\sin(\alpha )}}\right)^{2}}}\\y&=b{\frac {\sin(t)}{\sin(\alpha )}}\\\end{cases}}}$

Un cas particulier de section torique est donné par les spiriques de Persée, pour lesquelles le plan d'intersection est parallèle à l'axe de rotation du tore. Elles ont été découvertes par l'antique géomètre grec Persée vers 150 av. J.-C.[2]. Des exemples bien connus incluent l'hippopède et les ovales de Cassini et des courbes similaires, comme la lemniscate de Bernoulli.

Un autre cas particulier est celui des cercles de Villarceau, sections toriques circulaires cercle malgré l'absence de tout type évident de symétrie qui impliquerait une section circulaire[3].

Des figures plus compliquées telles qu'une couronne peuvent être obtenues selon que le plan d'intersection est perpendiculaire ou oblique à l'axe de symétrie de rotation.

• Courbe d'intersection

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Toric section » (voir la liste des auteurs).

• (en) The toric section: intersection of a torus with a plane sur "Worlds of math & physics"
• (en) Eric W. Weisstein, « Toric Section », sur MathWorld
• Spirique plane sur mathcurve