Spirique de Persée

On se donne l'équation d'un tore dans l'espace dont l'axe de symétrie est sur le plan xy :

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+b^{2}-a^{2})^{2}=4b^{2}(x^{2}+z^{2}).\,}$

on fixe z=c pour obtenir l'équation d'une spirique de Persée :

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(x^{2}+c^{2}).\,}$

Ici, le tore est formé en effectuant la rotation d'un cercle de rayon a dont le centre parcourt un autre cercle de rayon b (si b est plus petit que a, il y a intersection). Le paramètre c désigne la distance entre le plan d'intersection et l'axe de révolution. L'ensemble des points de la courbe est vide si c > b + a, ce qui correspond au cas où le plan est trop loin pour intersecter le tore.

On peut écrire l'équation sous la forme

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f\,}$

avec le nouveau jeu de paramètres

${\displaystyle d=2(a^{2}+b^{2}-c^{2}),\ e=2(a^{2}-b^{2}-c^{2}),\ f=-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).\,}$

En coordonnées polaires, on obtient

${\displaystyle (r^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(r^{2}\cos ^{2}\theta +c^{2})\,}$

ou

${\displaystyle r^{4}=r^{2}(d\cos ^{2}\theta +e\sin ^{2}\theta )+f.\,}$

Les hippopèdes et les ovales de Cassini sont des cas particuliers de spiriques de Persée, de même que la lemniscate de Bernoulli.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Spiric section » (voir la liste des auteurs).
• (en) Eric W. Weisstein, « Spiric Section », sur MathWorld
• "Spirique de Persée" sur Mathcurve