Cercles de Villarceau

Dans un tore de centre O, d'axe Oz et de paramètres R et r, les plans bitangents au tore ont pour équation : r cosθ x + r sinθ y + ε√R² – r² z = 0 où ε peut valoir +1 ou –1 et où θ est un réel quelconque.

Un tel plan coupe le tore en deux cercles de rayon R et de centres de coordonnées (–r sinθ , r cosθ , 0) et (r sinθ , –r cosθ, 0).

Ces résultats s'obtiennent en travaillant d'abord pour des plans contenant l'axe des y dont les équations sont rx + ε√R² – r² z = 0 qui coupent le tore en des cercles de rayon R et de centres de coordonnées (0 , r , 0) et (0, –r, 0)[1], puis en utilisant les propriétés d'invariance par rotation du tore pour les autres cercles de Villarceau.

Prenons un tore de paramètres R = 5 et r = 3 et d'axe Oz :

${\displaystyle 0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+16)^{2}-100(x^{2}+y^{2}).\,\!}$

En sectionnant par le plan d'équation z = 0, on obtient deux cercles concentriques, d'équations x²+y² = 2² et x²+y² = 8².

En sectionnant par le plan d'équation x = 0, on obtient deux cercles côte à côte, d'équations (y−5)²+z² = 3² et (y+5)²+z² = 3².

Deux cercles de Villarceau peuvent être obtenus en sectionnant par le plan d'équation 3x = 4z. Le premier est centré en (0, +3, 0), le second en (0, −3, 0) - les deux ont 5 pour rayon. On peut en donner les paramétrages suivants :

${\displaystyle (x,y,z)=(4\cos \theta ,+3+5\sin \theta ,3\cos \theta )\,\!}$

${\displaystyle (x,y,z)=(4\cos \theta ,-3+5\sin \theta ,3\cos \theta ).\,\!}$

Le plan est choisi pour être tangent au tore tout en passant par son centre. Ici, il est tangent en (¹⁶⁄₅, 0, ¹²⁄₅) et en (−¹⁶⁄₅, 0, −¹²⁄₅). L'angle de découpe est unique, déterminé par les paramètres du tore.

Le tore joue un rôle important dans la fibration de Hopf. La sphère S³ est vue comme un espace fibré, de base la sphère traditionnelle S², et avec les cercles usuels S¹ pour fibres. Par projection stéréographique on peut représenter cette figure dans un espace euclidien de dimension 3, à l'exception d'un point qui est envoyé à l'infini (le cercle de S³ correspondant devient un axe de R³). On considère un parallèle de la sphère S² ; son image réciproque (dans R³) par la projection de Hopf est un tore. Les fibres en sont des cercles de Villarceau.

Thomas Banchoff[2] a pu analyser un tel tore à l'aide d'imagerie informatique.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Villarceau circles » (voir la liste des auteurs).

• Une construction des cercles de Villarceau par rotation des plans de coupe
• Une démonstration utilisant les outils de la géométrie projective
• Le texte de Villarceau (1848) analysé sur le site bibnum
• (en) Eric W. Weisstein, « Torus », sur MathWorld
• (en) Flat Torus in the Three-Sphere