Contrairement à d'autres, cette preuve d'existence ne produit pas la base en question.
Notons le produit scalaire
et la norme euclidienne associée ![{\displaystyle x\mapsto \|x\|^{2}.}](https://img.franco.wiki/i/50a201b6b1a3a2bbc7aefdf965011f57e7c90d9d.svg)
- Comme E est de dimension finie, la sphère unité
est compacte d'après le théorème de Borel-Lebesgue. La fonction
est continue sur S. Elle y est donc majorée et atteint cette borne en un certain point e.
- Comme f est homogène de degré 0, e réalise aussi un maximum de f sur l'ouvert E\{0}.
- Si ϕ est la forme polaire associée à q, on a :
La différentielle de q en e est alors la partie linéaire du terme de droite : ![{\displaystyle Dq_{e}(x)=2\phi (e,x).}](https://img.franco.wiki/i/85e4ed5897abecc11c521f3347a029f969693255.svg)
- Comme e est un extremum pour f, la différentielle de f en e est nécessairement nulle, soit
ou
donc pour tout
,
entraîne
.
- On achève la preuve par récurrence sur la dimension de l'espace E. En dimension 1, c'est évident. Supposons la propriété vraie en dimension n – 1. La droite dirigée par e est supplémentaire de son orthogonal :
car le produit scalaire est une forme symétrique définie positive. L'hypothèse de récurrence donne une base
de
orthonormée pour le produit scalaire, orthogonale pour ϕ. Par construction :
et donc aussi
pour ![{\displaystyle i=2,\ldots ,n}](https://img.franco.wiki/i/ad940e1e624918f21629c8c9af21e8ef1c916928.svg)
![{\displaystyle \|e\|=1.}](https://img.franco.wiki/i/da867d0886d5e87a4a4eadde5724595312e60b17.svg)
- La base
répond donc à la question.