Modèle des urnes d'Ehrenfest

On considère deux urnes A et B, ainsi que N boules, numérotées de 1 à N. Initialement, toutes les boules se trouvent dans l'urne A. Le processus stochastique associé consiste à répéter l'opération suivante :

• Tirer au hasard un numéro i compris entre 1 et N, prendre la boule n°i, la transférer dans l'urne où elle n'était pas.

Par convention, le premier instant est ${\displaystyle t_{0}=0}$.

N = 500 boules ; 10000 tirages.

Dans ce modèle, on suit au cours du temps t (discret) le nombre total de boules n(t) présentes dans l'urne A. On obtient une courbe qui part initialement de n(0)=N et commence par décroître vers la valeur moyenne N/2, comme on pourrait s'y attendre pour un « bon » système thermodynamique initialement hors d'équilibre et relaxant spontanément vers l'équilibre.

N = 4 boules ; 100 tirages. Les fluctuations autour de la moyenne sont importantes lorsque N est petit, et les récurrences à l'état initial sont particulièrement visibles.

Mais cette décroissance est irrégulière : il existe des fluctuations autour de la valeur moyenne N/2, qui peuvent devenir parfois très importantes (ceci est particulièrement visible lorsque N est petit).

En particulier, quel que soit le nombre de boules N fini, il existe toujours des récurrences à l'état initial, pour lesquelles toutes les boules reviennent dans l'urne A après une durée finie. Mais, comme le temps moyen entre deux récurrences consécutives croît très rapidement avec N, ces récurrences ne nous apparaissent pas lorsque N est très grand.

Dans cette version, les deux urnes sont remplacées par deux chiens, et les N boules par N puces, sautant d'un chien à l'autre.

Il existe des récurrences à l'état initial, caractérisées par une suite dénombrable d'instants ${\displaystyle \{t_{n}\}_{n=1,2,\dots }}$ finis pour lesquels toutes les boules reviennent dans l'urne A, c’est-à-dire que l'on a : ${\displaystyle n(t_{n})=N}$ (par convention, on pose ${\displaystyle t_{0}=0}$). On peut alors définir une nouvelle suite dénombrable ${\displaystyle \tau _{n}=t_{n}-t_{n-1}}$ des durées finies entre deux récurrences consécutives.

Il est possible de calculer la durée moyenne entre deux récurrences à l'état initial consécutives :

${\displaystyle \langle \ \tau \ \rangle \ =\ \lim _{p\to \infty }\ {\frac {1}{p}}\ \sum _{n=1}^{p}\ \tau _{n}}$

On a le théorème suivant [Kac - 1947] :

${\displaystyle \langle \tau \rangle \ =\ 2^{N}}$

De plus, on peut montrer que la dispersion des durées autour de leur valeur moyenne, caractérisée par l'écart-type σ, est du même ordre de grandeur :

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\ \lim _{p\to \infty }{\frac {1}{(p-1)}}\sum _{n=1}^{p}\,\left[\,\tau _{n}\,-\,\langle \tau \rangle \,\right]^{2}\ }}\ \sim \ \langle \tau \rangle }$

Voir par exemple [Kac-1957].