Théorème de récurrence de Poincaré

Posons ${\displaystyle U_{p}=\cup _{k\geq p}\phi ^{-k}(A)}$ (pour tout entier naturel ${\displaystyle p}$) et ${\displaystyle U=\cap _{p\in \mathbb {N} }U_{p}}$.

Il s'agit de prouver que l'ensemble ${\displaystyle A\setminus U=\cup _{p\in \mathbb {N} }\left(A\setminus U_{p}\right)}$ des points de ${\displaystyle A}$ non récurrents par rapport à ${\displaystyle A}$ est de mesure nulle[4], c'est-à-dire (puisqu'il s'agit d'une union dénombrable) que chaque ${\displaystyle A\setminus U_{p}}$ est de mesure nulle.

De ${\displaystyle U_{p+1}=\phi ^{-1}(U_{p})}$ et ${\displaystyle \mu \left[\phi ^{-1}(U_{p})\right]=\mu (U_{p})}$, on déduit que tous les ${\displaystyle U_{p}}$ ont même mesure.

On conclut en utilisant que ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle U_{p}}$ sont inclus dans ${\displaystyle U_{0}}$ :

${\displaystyle \mu \left(A\setminus U_{p}\right)\leq \mu \left(U_{0}\setminus U_{p}\right)=\mu \left(U_{0}\right)-\mu \left(U_{p}\right)=0}$.