Mathématiques dans l'Égypte antique

L'Oudjat (vue de droite à gauche).

Une hypothèse célèbre lancée en 1911 par l'égyptologue Georg Möller consiste à identifier certains signes utilisés pour exprimer des capacités en grain avec des parties du dessin, stylisées, de l'Œil d'Horus, une représentation de l'œil gauche d'Horus perdu puis retrouvé.

Selon la légende, Seth le lui ôta par jalousie et le découpa en plusieurs morceaux, Thot en retrouva six morceaux (qui dans l'hypothèse de Möller, largement reprise, représentaient les six fractions, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 et 1/64) mais il manquait encore 1/64 pour faire l'unité. Thot y aurait ajouté alors « le liant magique » permettant à l'œil de recouvrer son unité.

On trouve ces signes par exemple dans certaines sections du papyrus Rhind, les deux dernières vérifications de la section R37 et la dernière de la section R38 sont ainsi proposées sous forme de volumes de grains en heqat et écrites avec ces signes, de même que le calcul de la section R64[9].

Möller voyait dans cette identification la source (religieuse, donc) des signes utilisés pour les fractions. Cette hypothèse a été abandonnée avec la découverte de nouveaux textes permettant de retracer le développement de ces signes[10].

N'importe quelle fraction que nous écrivons avec un numérateur non unitaire était écrite par les anciens Égyptiens comme une somme de fractions unitaires sans que deux de ces dénominateurs soient les mêmes.

Le hiéroglyphe en forme de bouche ouverte qui signifie partie, était utilisé pour représenter le numérateur 1 :

Les fractions étaient écrites avec ce hiéroglyphe dessus et le dénominateur en dessous. Ainsi 1/3 était écrit :

${\displaystyle ={\frac {1}{3}}}$

Il y avait des symboles spéciaux pour les fractions les plus courantes comme 1/2 et pour deux fractions non unitaire 2/3 et 3/4 :

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle ={\frac {2}{3}}}$

${\displaystyle ={\frac {3}{4}}}$

Si le dénominateur devenait trop large, la « bouche » était placée juste au début du dénominateur :

${\displaystyle ={\frac {1}{331}}}$

Le papyrus Rhind (environ -1650) qui est conservé au British Museum de Londres, est le plus important document nous informant des connaissances mathématiques des temps anciens. Il comporte 84 problèmes résolus d'arithmétique, de géométrie et d'arpentage. Mais, avant de prendre connaissance de ces problèmes, l'égyptien devait avoir à sa disposition différentes tables lui permettant de décomposer directement les fractions non unitaires en fractions unitaires. Une de ces tables, la table dite « des fractions doubles » ou « de 2/n », se trouve en première position sur le Papyrus de Rhind. Elle répertorie les fractions dont le numérateur est deux et dont le dénominateur n varie de trois à cent-un, n impairs et donne leur équivalent en somme de fractions unitaires[11].

Quelques exemples de décomposition en fractions unitaires de la table de deux :

Ces différents résultats furent obtenus par les anciens égyptiens en appliquant la technique de la division.

Exemple de 2/5 :

(1 + 2/3) + 1/3 = 2 par conséquent le résultat est 1/3 + 1/15.

Bien qu'aucune explication ne soit fournie par les papyrus mathématiques, le système additionnel de la numération égyptienne rend toutes naturelles les opérations d'addition et de soustraction.

L'addition de deux nombres consistait à compter le nombre de symboles total correspondant à une même grandeur. Si le nombre de cette grandeur dépassait dix, le scribe remplaçait ces dix symboles par le symbole de la grandeur supérieure.

Exemple

2343 + 1671

+

nous donne

Soit :

Finalement, le résultat est :

La technique de multiplication en Égypte antique reposait sur la décomposition d'un des nombres (généralement le plus petit) en une somme et la création d'une table de puissance pour l'autre nombre. Très souvent, cette décomposition s'effectuait suivant les puissances de deux. Mais celle-ci pouvait varier en fonction de la complexité de l'opération. Le plus petit nombre pouvait ainsi être décomposé alternativement suivant les puissances de deux, les dizaines et les fractions fondamentales telles que 2/3, 1/3, 1/10, etc.

La technique de division en Égypte antique reposait sur le même principe que la multiplication, en ce sens où des tables constituées de puissances de deux successives, de fractions fondamentales et de dizaines étaient utilisées pour résoudre le problème.

Le carré d'une valeur appliqué au calcul d'une surface peut sans aucun problème être assimilé à une simple multiplication. Par contre, les racines carrées, dont il est assuré qu'elles furent connues des anciens Égyptiens, n'ont laissé aucun document nous permettant de comprendre la technique d'extraction opérée par eux.

L'énoncé du problème mathématique du papyrus Berlin 6619 (voir § Équations du second degré ci-dessous) contient la racine carrée de 1 + 1/2 + 1/16, soit 1 + 1/4 ; ainsi que la racine carrée de cent, c'est-à-dire dix. À en juger par les exemples connus d'extraction d'une racine carrée, il semble que le scribe ne connaissait que les radicaux simples, résultant en entiers ou en peu de fractions. Toutefois, l'absence d'opérations dans les problèmes traités indique que le scribe devait avoir à sa disposition des tables contenant le résultat des racines carrées usuelles. Les papyrus Kahun et le papyrus de Moscou contiennent des applications aux racines carrées, mais il est notable que le plus important papyrus mathématique, le papyrus Rhind, n'en contient aucune.

Le scribe égyptien ne pose jamais les problèmes sous forme d'équations algébriques (ignorant le zéro,il ne connaît pas d'opérateurs mathématiques tels que +, –, x ou %, ni la notion d'inconnue posée par une lettre telle que x). Cependant, la technique utilisée pour résoudre ces problèmes s'apparente bien souvent aux méthodes modernes de résolution d'équations. L'inconnue dont la valeur est à déterminer est toujours désignée par la quantité ‘ḥ‘ (‘ḥ‘w au pluriel).

Exemple du problème M25 du papyrus de Moscou

Une seconde technique consistait à résoudre les problèmes par la méthode de la fausse position. C'est-à-dire que l'on attribuait à la quantité inconnue une valeur quelconque. Le résultat donné par cette valeur était évidemment faux, mais pouvait être corrigé par la règle de proportionnalité inhérente aux équations linéaires. C'est bien cette propriété, fondée sur une méthode empirique, qui fut utilisée ici.

Exemple du problème R26 du papyrus Rhind

Une quantité (‘ḥ‘) à laquelle on ajoute ses 1/4 devient 15 (soit X + 1/4X = 15).

Première étape : une valeur aléatoire est donnée à cette quantité, en l'occurrence 4. Le scribe calcule donc 4 + 1/4x4, dont le résultat ne sera évidemment pas 15 :

Le résultat est 5.

Deuxième étape : le résultat n'est pas 15 mais 5. Quel est donc le rapport entre ces deux résultats ?

Le rapport vaut 3. Par conséquent la relation entre notre valeur aléatoire 4 et la quantité ‘ḥ‘ vérifiant l'égalité posée dans le problème est 4×3 = ‘ḥ‘.

Troisième étape : calcul de 4×3

Le résultat est 12.

Quatrième étape : le scribe vérifie l'exactitude de sa solution par la vérification de l'égalité (soit 12 + 1/4×12 = 15)

La quantité ‘ḥ‘ vaut bien 12 et ses 1/4 ajoutés à elle-même font un total de 15.

Certains énoncés posent le problème de la recherche d'une ou plusieurs quantités dont la somme des carrés est connue. Le papyrus Berlin 6619 offre un très bon exemple du type de résolution par fausse position proposé par les anciens Égyptiens, sous la forme d'un système équivalent à deux équations à deux inconnues.

Énoncé du problème

« Si on te dit : cent coudées carrées sont divisées en deux surfaces (quantités ‘ḥ‘w dans le texte original), et 1 sur 1/2 1/4 est le rapport des côtés de la première surface (quantité) et de l'autre surface (quantité). Veuilles faire en sorte que je connaisse la quantité de ces surfaces. Le calcul de l'un des carrés est avec 1 et le calcul de l'autre est avec 1/2 1/4 de 1. Prends le 1/2 1/4 du côté de l'une des surfaces pour le côté de l'autre. Le résultat est 1/2 1/4. Multiplie-le par 1/2 1/4. Le résultat est 1/2 1/16 pour l'aire de la plus petite surface. Si la quantité du côté du grand carré est 1, et que celle de l'autre est 1/2 1/4, et que tu fais la somme des deux carrés. Le résultat est 1 1/2 1/16 (le texte original contient ici une erreur puisqu'il est noté 1 1/4 1/16). Tu prends sa racine carrée. Le résultat est 1 1/4. Tu prends alors la racine carrée de 100. Le résultat est 10. Multiplie 1 1/4 pour trouver 10. Le résultat est la quantité 8 (pour le côté du grand carré). Tu feras le 1/2 1/4 de 8. Le résultat est la quantité 6 pour le côté du plus petit carré. »

Explication

Le problème est de trouver les aires de deux carrés différents dont la somme est égale à l'aire d'un carré de 100 coudées², le rapport des côtés de ces deux carrés étant de 1 pour (1/2 + 1/4).

Posons X la longueur du côté du petit carré, et Y la longueur du côté du grand carré. Par conséquent, l'énoncé serait traduit en langage algébrique moderne par X² + Y² = 100 et X/Y = 1/2 + 1/4.

Le scribe ne différencie pas deux variables. Les côtés des deux carrés étant liés par la relation 1 pour 1/2 + 1/4, il décide d'affecter la valeur 1 au côté du plus grand carré, et 1/2 + 1/4 au côté du plus petit. C'est la méthode de la fausse position déjà étudiée ci-dessus. Il calcule donc les aires des deux carrés : (1/2 + 1/4) ² et 1². Il obtient un total de 1 + 1/2 + 1/16. L'aire totale des deux carrés est donc de 1 + 1/2 + 1/16. Il en déduit le côté du carré équivalent à cette surface en extrayant la racine carrée de 1 + 1/2 + 1/16. Il vient 1 + 1/4. Or le côté du carré de départ est 10 (racine carrée de 100 effectuée par le scribe). Le rapport de 10 sur (1 + 1/4) est de 8. Ce ratio va nous permettre de réajuster les valeurs prises par fausse position : 1 × 8 et (1/2 + 1/4) × 8, soit 8 et 6. Nous avons bien 6² + 8² = 100.

La surface d'un carré de dix coudées de côté est donc équivalente à la surface totale de deux carrés dont les côtés sont respectivement de six et de huit coudées.

Une suite arithmétique est une suite de nombres dont chacun des termes s'obtient à partir du précédent en lui additionnant (ou en lui soustrayant) toujours la même valeur. Cette valeur est appelée en langage mathématique moderne, la raison. Par exemple, la suite (1, 3, 5, 7, 9) est une suite arithmétique de cinq termes dont la raison est 2.

Énoncé du problème R64 du papyrus Rhind

« Exemple de répartition de parts. Si on te dit : (on a) 10 heqat de blé pour 10 hommes. Et la différence entre un homme et son voisin se monte à 1/8 de heqat de blé. La répartition moyenne est de 1 heqat. Soustrais 1 de 10, il reste 9. Prendre la moitié de la différence qui est 1/16. Les 9 fois qui valent 1/2 1/16 de héqat sont à additionner à la répartition moyenne et tu dois soustraire 1/8 de héqat par homme, chacun pris jusqu'au dernier. À faire selon ce qui doit se produire. »

Explication

Le problème consiste à partager dix heqat de blé entre dix hommes. On peut désigner leurs parts respectives par H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 et H10. Les dix heqat de blé représentent le total des parts à distribuer. Nommons le S. Soit N le nombre de parts. Chaque homme ne possédera pas la même quantité d'heqat. Pris dans l'ordre, chacun obtiendra 1/8 d'heqat de plus que son prédécesseur. Soit H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8 et ainsi de suite, le dernier individu ayant la plus grande part. 1/8 représente la raison de la suite donc R = 1/8.

Le scribe détermine en premier lieu la valeur moyenne de heqat que l'on distribuera à chaque homme, soit S/N = 10/10 = 1. Ensuite, il calcule le nombre de différences effectuées sur l'ensemble des dix individus. Il y en a N-1 = 10-1, soit neuf. Il vient R/2 = 1/16, puis R/2 * (N-1) = 1/16 * 9 = 1/2 + 1/16. Le plus grand terme est donné par R/2 * (N-1) + S/N = 1/2 + 1/16 + 1.

On a donc les dix parts suivantes :

Par une méthode empirique, le scribe a donc retrouvé la propriété des suites arithmétiques et appliqué les formules suivantes :

${\displaystyle \ H_{N}=(S/N)+(N-1)*R/2\,}$

puis ${\displaystyle \ H_{n-1}=H_{n}-r\,}$

Une suite géométrique est une suite de nombres dont chacun des termes s'obtient à partir du précédent en le multipliant toujours par la même valeur. Par exemple, la suite {1; 3; 9; 27; 81} est une suite géométrique de cinq termes dont la raison est trois.

Ce type de suite fut usité, mais les documents manquent et il est impossible de se faire une idée précise quant aux connaissances que pouvaient en avoir le scribe. Les méthodes de multiplication et de division employées par les Égyptiens sont fondées sur les puissances de deux, autrement dit une suite géométrique de raison 2, et sur les fractions 1/2, 1/4, 1/8 ... c'est-à-dire une suite géométrique de raison 1/2. Par ailleurs, le papyrus Rhind nous fournit l'unique exemple de problème basé sur l'application des suites géométriques.

Énoncé du problème 79 du papyrus Rhind

Somme d'une suite géométrique de cinq termes, tels que le premier terme vaut 7 et le multiplicateur de chaque terme (la raison) vaut 7. Application à l'inventaire d'une maison :

• (en) Marshall Clagett, Ancient Egyptian Science, A Source Book. Vol. 3, Ancient Egyptian Mathematics, American Philosophical Society, 1999.
• Pour la reproduction des hiéroglyphes, leur traduction et un examen critique du texte des quatre papyrus mentionnés ci-dessus, voir Sylvia Couchoud, Mathématiques égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique, éditions Le Léopard d’Or, 1993 ou l'ouvrage plus complet et plus récent de Marianne Michel, Les mathématiques de l'Égypte ancienne. Numération, métrologie, arithmétique, géométrie et autres problèmes, Safran (éditions), 2014.
• Christian Mauduit et Philippe Tchamitichian, Mathématiques, Éditions Messidor/La Farandole.
• Hors série Science et Vie, Hommes, sciences et techniques au temps des Pharaons, décembre 1996.
• Hors série La Recherche, L'Univers des nombres, août 1999.

Histoire des mathématiques

« Brève chronologie de l'histoire des mathématiques en Égypte », sur culturemath