Loi du χ

La densité de probabilité de la loi du ${\displaystyle \chi }$ est :

${\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {2^{1-{\frac {k}{2}}}x^{k-1}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle \Gamma (z)}$ est la fonction gamma.

La fonction de répartition de la loi du ${\displaystyle \chi }$ est :

${\displaystyle F(x;k)={\begin{cases}\displaystyle P\left({\frac {k}{2}},{\frac {x^{2}}{2}}\right)&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle P(k,x)}$ est la fonction gamma incomplète (régularisée).

La fonction génératrice des moments est donnée par :

${\displaystyle M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right).}$

où M est la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.

La fonction caractéristique est donnée par :

${\displaystyle \varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right).}$

où M est encore la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.

Les moments de la loi du ${\displaystyle \chi }$ sont donnés par :

${\displaystyle \mu _{j}=2^{j/2}{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+j}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}}$

où ${\displaystyle \Gamma (z)}$ est la fonction gamma. Les premiers moments sont :

${\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}}$

${\displaystyle \mu _{2}=k\,}$

${\displaystyle \mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+3}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}=(k+1)\mu _{1}}$

${\displaystyle \mu _{4}=k(k+2)\,}$

${\displaystyle \mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+5}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}=(k+1)(k+3)\mu _{1}}$

${\displaystyle \mu _{6}=k(k+2)(k+4)\,}$

où les expressions sont issues de la relation de récurrence de la fonction gamma :

${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,}$

à partir de ces expressions, on peut établir les relations suivantes pour l'espérance, la variance, l'asymétrie et enfin le kurtosis :

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,}$

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})}$

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})}$

L'entropie est donnée par :

${\displaystyle S=\ln \left(\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(k-\ln(2)-(k-1)\psi _{0}\left({\frac {k}{2}}\right)\right)}$

où ${\displaystyle \psi _{0}(z)}$ est la fonction polygamma.