Loi du χ² non centrée

Soit X_i, k variables aléatoires indépendantes de loi normale de moyennes ${\displaystyle \mu _{i}}$ et variances ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$. Alors la variable aléatoire

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$

suit une loi du χ² non centrée. Elle dépend de deux paramètres : k qui spécifie le nombre de degrés de liberté (c'est-à-dire le nombre de X_i), et λ qui est en lien avec la moyenne des variables X_i par la formule :

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}.}$

${\displaystyle \lambda }$ est parfois appelé le paramètre de décentralisation. Certaines références définissent λ différemment, comme la moyenne de la somme ci-dessus ou comme sa racine carrée.

Cette loi apparait en statistique multivariée, elle est issue de la loi normale multidimensionnelle. Comme la loi du χ² est le carré de la norme du vecteur aléatoire défini à partir des variables de loi ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0_{k},I_{k})}$ (c'est-à-dire le carré de la distance entre l'origine et un point donné par cette loi), la loi du χ² non centrée est le carré de la norme d'un vecteur aléatoire de loi ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,I_{k})}$. Ici 0_k est le vecteur nul de longueur k, ${\displaystyle \mu =(\mu _{1},...,\mu _{k})}$ et I_k est la matrice unité de taille k.

La densité de probabilité est donnée par :

${\displaystyle {\begin{cases}f_{X}(x;k,\lambda )=\sum _{i=0}^{\infty }{\dfrac {{\rm {e}}^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{i}}{i!}}f_{Y_{k+2i}}(x)&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}}$

où Y_q est de loi du χ² à q degrés de liberté.

De cette représentation, la loi du χ² non centrée est vue comme une loi mélange de loi du ${\displaystyle \chi ^{2}}$. Supposons que la variable J suit une loi de Poisson avec moyenne λ/2, et que la loi conditionnelle de Z sachant J = i est la loi du χ² à k+2i degrés de liberté. Alors la loi (non conditionnelle) de Z est la loi du χ² non centrée à k degrés de liberté, et avec paramètre de décentralisation ${\displaystyle \lambda }$.

D'une autre part, la densité peut être écrite sous la forme

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )={\frac {1}{2}}{\rm {e}}^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})}$

où I_ν(z) est la fonction de Bessel modifiée du premier type donnée par

${\displaystyle I_{a}(y)=(y/2)^{a}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(y^{2}/4)^{j}}{j!\Gamma (a+j+1)}}.}$

En utilisant la relation entre les fonctions de Bessel et hypergéométrique, la densité peut également être écrite sous la forme[1] :

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )={{\rm {e}}^{-\lambda /2}}_{0}F_{1}(;k/2;\lambda x/4){\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}{\rm {e}}^{-x/2}x^{k/2-1}.}$

Siegel (1979) considère plus particulièrement le cas k=0 (0 degré de liberté), dans ce cas la loi est atomique en 0.

• Si V est de loi du χ², ${\displaystyle V\sim \chi _{k}^{2}}$, alors ${\displaystyle V}$ est également de loi du χ² non centrée : ${\displaystyle V\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)}$.
• Si ${\displaystyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda )}$, ${\displaystyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(0)}$, et V₁ et V₂ sont indépendantes, alors ${\displaystyle {\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}}$ est de loi de Fisher non centrée : ${\displaystyle {\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}\sim F'_{k_{1},k_{2}}(\lambda )}$.
• Si ${\displaystyle J\sim {\mathcal {P}}({\frac {\lambda }{2}})}$, où ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ désigne la loi de Poisson, alors ${\displaystyle \chi _{k+2J}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )}$
• Approximation par la loi normale[6] : si ${\displaystyle V\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )}$, alors ${\displaystyle {\frac {V-(k+\lambda )}{\sqrt {2(k+2\lambda )}}}\to {\mathcal {N}}(0,1)}$ en probabilité lorsque ${\displaystyle k\to \infty }$ ou ${\displaystyle \lambda \to \infty }$.

Transformations

Sankaran (1963) étudie les transformations de la forme ${\displaystyle z=[(X-b)/(k+\lambda )]^{1/2}}$. Il analyse le développement des cumulants de z de l'ordre de ${\displaystyle O((k+\lambda )^{-4})}$ et montre que les choix suivants de b donnent les résultats raisonnables suivants :

• ${\displaystyle b=(k-1)/2}$ rend le second cumulant de z approximativement indépendant de λ,
• ${\displaystyle b=(k-1)/3}$ rend le troisième cumulant de z approximativement indépendant de λ,
• ${\displaystyle b=(k-1)/4}$ rend le quatrième cumulant de z approximativement indépendant de λ.

De plus, une transformation plus simple, ${\displaystyle z_{1}=(X-(k-1)/2)^{1/2}}$, peut être utilisée comme fonction de stabilisation de variance qui produit une variable aléatoire de moyenne ${\displaystyle (\lambda +(k-1)/2)^{1/2}}$ et de variance ${\displaystyle O((k+\lambda )^{-2})}$.

L'utilisation de ces transformations peut être altérée par le fait de considérer les racines carrées de nombres négatifs.

Différentes lois du χ et χ²

Lois	en fonction de variables de loi normale
loi du χ²	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
loi du χ² non centrée	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
loi du χ	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
loi du χ non centrée	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

• Abramowitz, M. and Stegun, I.A. (1972), Handbook of Mathematical Functions, Dover. Section 26.4.25.
• Johnson, N. L., Kotz, S., Balakrishnan, N. (1970), Continuous Univariate Distributions, Volume 2, Wiley. (ISBN 0-471-58494-0)
• Muirhead, R. (2005) Aspects of Multivariate Statistical Theory (2nd Edition). Wiley. (ISBN 0471769851)
• Siegel, A.F. (1979), "The noncentral chi-squared distribution with zero degrees of freedom and testing for uniformity", Biometrika, 66, 381–386