Loi de mouvement

Les lois ayant un à-coup théorique infini peuvent être utilisées aux vitesses faibles et pour les systèmes souples, les vibrations générées étant alors modérées. On a recours à de telles lois parce qu'elles sont simples à mettre en œuvre d'un point de vue technologique.

Lois de mouvement trapézoïdale (en vert) et triangulaire (en bleu) en vitesse.

La manière la plus simple de générer un mouvement consiste à mettre en marche l'actionneur, par un préactionneur (interrupteur, distributeur), puis à le couper lorsque le mouvement arrive en fin de course. La puissance, et donc l'accélération, est en escalier. C'est la loi présentée ci-dessus dans la section Approche élémentaire. Elle est donc trapézoïdale en vitesse et présente des à-coups infinis aux transitions entre les phases.

Si l'on considère une loi en trois phases d'une durée de T/3 — 1/3 du mouvement en accélération, 1/3 du mouvement à vitesse constante et 1/3 du mouvement en freinage —, on a :

• a_max = 9/2⋅x_f/T² = 4,5x_f/T² ;
• v_max = 3/2⋅x_f/T = 1,5⋅x_f/T.

Considérons maintenant un profil de vitesse triangulaire symétrique : on passe d'une phase d'accélération à une phase de freinage sans phase à vitesse constante. On a alors :

• a_max = 4⋅x_f/T² ;
• v_max = 2⋅x_f/T.

Came excentrique circulaire et galet suiveur.

Loi de mouvement sinusoïdale en position, par exemple obtenue avec un excentrique.

Considérons un excentrique, une came ayant un profil circulaire de rayon R mais dont l'axe de rotation est à une distance r du centre du disque. La distance entre le galet suiveur et l'axe de rotation varie entre deux valeurs x₁ = R – r et x₂ = R + r.

Si l'on appelle θ l'angle de rotation de la came, l'altitude x est de la forme

x = R – r⋅cos θ

Démonstration

Came excentrique circulaire : notations pour le calcul de la distance d entre le centre de rotation O et un point M de la came en fonction de l'angle de rotation θ.

Pour des raisons pratiques, nous changeons de référentiel. Nous considérons que la came est fixe et que le galet suiveur tourne autour de la came. Nous nous intéressons donc à la distance d entre le centre de rotation O et le point de contact M du galet avec la came pour un angle de rotation θ.

Nous changeons également de notation : l'altitude x du galet correspond ici à la distance d.

On place le centre du repère sur l'axe de rotation. Si l'on considère le point M de la came situé sur une droite faisant un angle θ avec l'origine, alors ses coordonnées vérifient :

• y = x⋅tan θ (pente de la droite) ;
• y² + (x – r)² = R² (équation cartésienne du cercle).

On obtient par substitution une équation du second degré en x :

${\displaystyle (1+\tan ^{2}\theta )x^{2}+(-2r)x+(r^{2}-\mathrm {R} ^{2})=0\Longleftrightarrow {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}x^{2}+(-2r)x+(r^{2}-\mathrm {R} ^{2})=0}$

Cela se résout en :

${\displaystyle \Delta ={\frac {4\mathrm {R} ^{2}}{\cos ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle x_{1.2}=\cos \theta (r\cos \theta \pm \mathrm {R} )}$

Les deux solutions x₁ et x₂ sont identiques moyennant une rotation d'un demi tour (θ → θ + π), nous choisissons donc arbitrairement la solution avec le signe moins.

La distance entre le centre de rotation et le point M vaut :

${\displaystyle d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {x^{2}+(1+\tan ^{2}\theta )}}=x/\cos \theta =r\cos \theta -\mathrm {R} }$

c.q.f.d.

Si la vitesse de rotation ω est constante, nous avons θ = ωt et donc :

• x = R – r⋅cos ωt ;
• v = +rω⋅sin ωt ;
• a = +rω²⋅cos ωt ;
• j = –rω³⋅sin ωt.

Dans le cas d'un mouvement continu, l'à-coup est limité. Si maintenant on considère une came linéaire dont le profil en S est une sinusoïde de type « altitude = A – B⋅cos(abscisse) » (donc avec une vitesse nulle pour t < 0 et t > T), la situation est similaire à un excentrique qui se met en rotation et s'arrête brusquement (commutation tout-ou-rien) et l'on a donc un à-coup infini au démarrage et à l'arrêt.

La course du système est x_f = 2r. Nous avons donc r = x_f/2 et ω = π/T soit

• v_max = πx_f/2T ≃ 1,57⋅x_f/T ;
• a_max = π²⋅x_f/2T² ≃ 4,93⋅x_f/T² ;
• j_max = π³⋅x_f/2T³ ≃ 15,5⋅x_f/T³ (excentrique à fonctionnement continu) ou ∞ (came linéaire).

Cette loi de mouvement est appelée mouvement harmonique simple — MHS ou SHM (anglais : simple harmonic motion).

Loi de mouvement trapézoïdale en accélération Lois de mouvement trapézoïdales en accélération : vert : deux phases (démarrage et freinage) ; bleu : trois phases (démarrage, vitesse constante, freinage).

Une loi trapézoïdale en accélération revient à avoir des valeurs discrètes d'à-coup, typiquement {–j₀ ; 0 ; +j₀}, la grandeur j₀ étant constante.

Habituellement, on considère deux phases symétriques (donc d'une durée T/2) : une phase de démarrage (a ≥ 0) et une phase de freinage (a ≤ 0). Pour chaque phase, la sous-phase d'accélération constante (j = 0) occupe la moitié de la phase (donc une durée T/4) et les sous-phases où l'accélération varie (j ≠ 0) occupent un quart de la phase (donc T/8). On obtient les courbes vertes ci-contre.

Nous avons en valeur absolue :

• ${\displaystyle j_{\textrm {max}}={\frac {128}{3}}{\frac {x_{f}}{\mathrm {T} ^{3}}}=42{,}7{\frac {x_{f}}{\mathrm {T} ^{3}}}}$ ;
• ${\displaystyle a_{\textrm {max}}={\frac {16}{3}}{\frac {x_{f}}{\mathrm {T} ^{2}}}=5{,}33{\frac {x_{f}}{\mathrm {T} ^{2}}}}$ ;
• ${\displaystyle v_{\textrm {max}}=2{\frac {x_{f}}{\mathrm {T} }}}$.

Concevons maintenant un mouvement avec une phase de vitesse constante (a = 0), nous avons donc :

• un mouvement globalement en trois parties d'une durée T/3 chacune : a ≥ 0 (démarrage), a = 0 (mouvement uniforme) et a ≤ 0 (freinage) ;
• le démarrage et le freinage sont également en trois parties d'une durée de T/9 chacune, formant une loi trapézoïdale.

Ce sont les courbes bleues ci-contre. Nous avons en valeur absolue :

• ${\displaystyle j_{\textrm {max}}={\frac {243}{4}}{\frac {x_{f}}{\mathrm {T} ^{3}}}=60{,}75{\frac {x_{f}}{\mathrm {T} ^{3}}}}$ ;
• ${\displaystyle a_{\textrm {max}}={\frac {27}{4}}{\frac {x_{f}}{\mathrm {T} ^{2}}}=6{,}75{\frac {x_{f}}{\mathrm {T} ^{2}}}}$ ;
• ${\displaystyle v_{\textrm {max}}={\frac {3}{2}}{\frac {x_{f}}{\mathrm {T} ^{2}}}=1{,}5{\frac {x_{f}}{\mathrm {T} }}}$.

Voir les équations sur la page de description de l'image.

Par rapport à une loi trapézoïdale en vitesse, une loi trapézoïdale en accélération permet de limiter l'à-coup au prix d'une augmentation de l'accélération d'un tiers environ, donc la puissance et l'effort développé sont d'autant plus importants. Par contre, la vitesse maximale reste la même.

Bien sûr, nous ne sommes pas obligé de considérer des fragments tous identiques, les phases d'accélération ou de vitesse constante peuvent être de durées différentes et la loi n'est pas nécessairement symétrique.

Loi de mouvement trapézoïdale modifiée (trap-mod) en accélération.

Une loi trapézoïdale modifiée — trap-mod, ou mod-trap (anglais : modified trapezoid) — est une loi trapézoïdale en deux phases dont les sommets des trapèzes sont « arrondis ». Concrètement, les pentes des trapèzes sont remplacées par des lois sinusoïdales.

On a en valeur absolue :

• ${\displaystyle j_{\mathrm {max} }={\frac {32\pi ^{2}}{\pi +2}}{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{3}}}\simeq 61{,}4{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{3}}}}$ ;
• ${\displaystyle a_{\mathrm {max} }={\frac {8\pi }{\pi +2}}{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{2}}}\simeq 4{,}89{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{2}}}}$ ;
• ${\displaystyle v_{\mathrm {max} }=2{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} }}}$.

Loi de mouvement sinusoïdale en vitesse.

La fonction cosinus possède deux tangentes horizontales sur une période. Ainsi, on peut s'en servir pour faire un raccordement entre deux phases à vitesse constante. On a ainsi une phase d'accélération où la vitesse est de la forme

${\displaystyle v={\frac {v_{0}}{2}}(1-\cos(\omega t))}$,

une phase de vitesse constante

v = v₀

et une phase de freinage où la vitesse est de la forme

${\displaystyle v={\frac {v_{0}}{2}}(1-\cos(\omega t+\varphi ))}$.

Dans l'exemple ci-contre, nous imposons, comme précédemment, d'avoir trois phases de durées égales T/3. On trouve les valeurs maximales :

• j_max = 27π²x_f/(4T³) ≃ 66,6 × x_f/T³ ;
• a_max = 9πx_f/(4T²) ≃ 7,07 × x_f/T² ;
• v_max = v₀ = 3x_f/(2T) = 1,5 × x_f/T.

Voir les équations sur la page de description de l'image.

Nous voyons donc que cette solution est moins favorable que la précédente tant du point de vue de l'accélération (+ 5 %), donc des efforts mis en œuvre, que de l'à-coup (+ 10 %). En revanche, les vitesses maximales sont égales, la dépense énergétique est donc similaire.

Loi de mouvement cycloïde en position.

La loi cycloïde est sinusoïdale en vitesse et accélération. Dans l'exemple précédent, si nous supprimons la partie centrale où la vitesse est constante, alors les courbes de vitesse et d'accélération sont des sinusoïdes du début à la fin :

${\displaystyle x={\frac {v_{0}}{2}}\left(t-{\frac {1}{\omega }}\sin(\omega t)\right),\ \omega \mathrm {T} =2\pi }$

${\displaystyle v={\frac {v_{0}}{2}}\left(1-\cos(\omega t)\right)}$

${\displaystyle a=a_{0}\sin(\omega t),\ a_{0}={\frac {v_{0}\omega }{2}}}$

soit

${\displaystyle x={\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} }}\left[t-{\frac {\mathrm {T} }{2\pi }}\sin \left(2\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)\right]}$

${\displaystyle v={\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} }}\left[1-\cos \left(2\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right))\right]}$

${\displaystyle a=2\pi {\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{2}}}\sin \left(2\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)}$

${\displaystyle j=4\pi ^{2}{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{3}}}\cos \left(2\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)}$

La loi x = ƒ(t ) est donc bien une cycloïde (ou plus précisément une trochoïde).

On a alors :

• j_max = 4π²x_f/T³ ≃ 39,5 × x_f/T³ ;
• a_max = 2πx_f/T² ≃ 6,28 × x_f/T² ;
• v_max = v₀ = 2 × x_f/T.

Loi de mouvement sinusoïdal modifié en accélération (sin-mod).

Une loi sinusoïdale modifiée — sin-mod, ou mod-sin (anglais : modified sinusoid) — est une loi composée de trois fonctions sinusoïdales :

• la première phase (j ≥ 0) est une fonction sinus entre l'instant initial (t = 0) et T/8 ;
• la deuxième phase (j ≤ 0) est une fonction sinus entre T/8 et 7T/8 ;
• la dernière phase (j ≥ 0) est une fonction sinus entre 7T/8 et T.

Nous avons donc une phase de démarrage en deux parties : un démarrage rapide (0-T/8) suivi d'une accélération « douce » (T/8-T/2), puis une décélération « douce » (T/2-7T/8) suivie d'un freinage rapide (7T/8-T).

Nous avons en valeur absolue :

• ${\displaystyle j_{\mathrm {max} }={\frac {16\pi ^{3}}{\pi +4}}{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{3}}}\simeq 69{,}5{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{3}}}}$ ;
• ${\displaystyle a_{\mathrm {max} }={\frac {4\pi ^{2}}{\pi +4}}{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{2}}}\simeq 5{,}52{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{2}}}}$ ;
• ${\displaystyle v_{\mathrm {max} }={\frac {4\pi }{\pi +4}}{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} }}\simeq 1{,}76{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{2}}}}$.

Loi de mouvement polynomiale 3-4-5 en position.

Les conditions initiales et finales imposent six conditions : x(0) = 0, v(0) = 0, a(0) = 0, x(T) = x_f, v(T) = 0, a(T) = 0. La fonction x(T) est donc au minimum d'un polynôme de degré cinq :

x(t ) = c₀ + c₁t + c₂t² + c₃t³ + c₄t⁴ + c₅t⁵.

La solution est unique et vaut :

${\displaystyle x(t)=10{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{3}}}t^{3}-15{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{4}}}t^{4}+6{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{5}}}t^{5}=x_{\mathrm {f} }{\frac {t^{3}}{\mathrm {T} ^{3}}}\left(10-15{\frac {t}{\mathrm {T} }}+6{\frac {t^{2}}{\mathrm {T} ^{2}}}\right)\$ ;}

cette loi est en général appelée « polynôme 3-4-5 ».

Nous avons donc :

${\displaystyle v(t)=30{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{3}}}t^{2}-60{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{4}}}t^{3}+30{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{5}}}t^{4}=30{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} }}{\frac {t^{2}}{\mathrm {T} ^{2}}}\left(1-2{\frac {t}{\mathrm {T} }}+{\frac {t^{2}}{\mathrm {T} ^{2}}}\right)\$ ;}

${\displaystyle a(t)=60{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{3}}}t-180{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{4}}}t^{2}+120{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{5}}}t^{3}=60{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{2}}}{\frac {t}{\mathrm {T} }}\left(1-3{\frac {t}{\mathrm {T} }}+2{\frac {t^{2}}{\mathrm {T} ^{2}}}\right)\$ ;}

${\displaystyle j(t)=60{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{3}}}-360{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{4}}}t+360{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{5}}}t^{2}=60{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{3}}}\left(1-6{\frac {t}{\mathrm {T} }}+6{\frac {t^{2}}{\mathrm {T} ^{2}}}\right)\$ ;}

et ainsi en valeur absolue :

j_max = j(0) = j(T) = 60⋅x_f/T³ ;

a_max = 10/√3⋅x_f/T² ≃ 5,77⋅x_f/T² ;

v_max = 15/8⋅x_f/T ≃ 1,88⋅x_f/T.

Loi de mouvement en polynôme 4-5-6-7 en déplacement.

Si l'on impose de plus que l'à-coup soit nul au début et à la fin, on obtient huit conditions et donc un polynôme de degré sept appelé « polynôme 4-5-6-7 ». Nous obtenons :

${\displaystyle x(t)=x_{\mathrm {f} }{\frac {t^{4}}{\mathrm {T} ^{4}}}\left(35-84{\frac {t}{\mathrm {T} }}+70{\frac {t^{2}}{\mathrm {T} ^{2}}}-20{\frac {t^{3}}{\mathrm {T} ^{3}}}\right)\$ ;}

${\displaystyle v(t)=140{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} }}{\frac {t^{3}}{\mathrm {T} ^{3}}}\left(1-3{\frac {t}{\mathrm {T} }}+3{\frac {t^{2}}{\mathrm {T} ^{2}}}-{\frac {t^{3}}{\mathrm {T} ^{3}}}\right)\$ ;}

${\displaystyle a(t)=140{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{2}}}{\frac {t^{2}}{\mathrm {T} ^{2}}}\left(3-12{\frac {t}{\mathrm {T} }}+15{\frac {t^{2}}{\mathrm {T} ^{2}}}-6{\frac {t^{3}}{\mathrm {T} ^{3}}}\right)\$ ;}

${\displaystyle j(t)=840{\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{3}}}{\frac {t}{\mathrm {T} }}\left(1-6{\frac {t}{\mathrm {T} }}+10{\frac {t^{2}}{\mathrm {T} ^{2}}}-5{\frac {t^{3}}{\mathrm {T} ^{3}}}\right).}$

Nous avons en valeur absolue :

j_max = j(T/2) = -52.5⋅x_f/T³ ;

a_max ≃ 7.513⋅x_f/T² ;

v_max = 35/16⋅x_f/T² ≃ 2,19⋅x_f/T.

Trois exemples de loi de mouvement en série de Fourier d'ordre 3, dites « lois harmoniques triples ».

Nous avons vu plus haut la loi de « mouvement harmonique simple ». Le terme « harmonique » fait référence à la décomposition en série de Fourier d'un mouvement périodique ; on un mouvement de période 2T (en considérant qu'un période est un aller-retour pour que le mouvement soit cyclique) et on le décrit par une somme de fonction sinusoïdales de pulsation k⋅ω. La loi cycloïde est un autre exemple de loi harmonique, une harmonique d'ordre 2.

On peut ainsi concevoir un mouvement à deux harmoniques, de type :

a(t ) = c_m⋅cos(mωt ) + c_n⋅cos(nωt )

avec ω = π/T. Mais quoi qu'il en soit, si l'on n'effectue qu'une demie période (un aller simple, le mouvement n'est alors pas périodique), l'à-coup n'est fini au début et à la fin que dans certaines circonstances : il faut que l'accélération soit nulle au début et à la fin. Par exemple, si l'on prend

a(t ) = a₀⋅(cos(ωt ) – cos(2ωt ))

on a

j(0) = 0 puisque a(0) = 0 (car cos(0) = 1)

mais

j(T) = ∞ puisque a(T) ≠ 0 (car cos(π) = –cos(2π) = –1).

Seules certaines lois harmoniques sont donc adaptées aux vitesses élevées, par exemple

a(t ) = a₀⋅(cos(ωt ) – cos(3ωt )),

a(t ) = a₀⋅(6⋅sin(2ωt ) – sin(6ωt ))

ou bien

a(t ) = a₀⋅(8⋅sin(2⋅ωt) + sin(6⋅ωt)).

Si le comportement mécanique du système piloté peut être modélisé comme un oscillateur harmonique, comme le balancement d'une charge levée par une grue ou un pont roulant ou bien un ensemble rigide que l'on peut modéliser comme un système masse-ressort, alors une loi de mouvement harmonique permet de prédire facilement la réponse du système à la loi de commande.

Concrètement, les lois précédentes donnent :

Courbe bleue

a = a₀⋅(cos(ωt ) – cos(3ωt ))

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{16}}x_{\mathrm {f} }\left[8-9\cos \left(\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)+\cos \left(3\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)\right]}$

• v_max ≃ 2,36⋅x_f/T
• a_max ≃ 8,55⋅x_f/T²
• j_max ≃ 69,8⋅x_f/T³

Courbe verte

a(t ) = a₀⋅(6⋅sin(2ωt ) – sin(6ωt ))

${\displaystyle x(t)=x_{\mathrm {f} }\left[{\frac {t}{\mathrm {T} }}+{\frac {1}{34\pi }}\left(-18\sin \left(2\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)+{\frac {1}{3}}\sin \left(6\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)\right)\right]}$

• v_max ≃ 2⋅x_f/T
• a_max ≃ 7,76⋅x_f/T²
• j_max ≃ 45,0⋅x_f/T³

Courbe rouge

a(t ) = a₀⋅(8⋅sin(2⋅ωt) + sin(6⋅ωt))

${\displaystyle x(t)=x_{\mathrm {f} }\left[{\frac {t}{\mathrm {T} }}-{\frac {1}{25\pi }}\left(12\sin \left(2\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)+{\frac {1}{6}}\sin \left(6\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)\right)\right]}$

• v_max ≃ 2⋅x_f/T
• a_max ≃ 5,29⋅x_f/T²
• j_max ≃ 52,1⋅x_f/T³

Ces lois sont dites « harmoniques triples » car il y a un facteur trois entre les fréquences (l'harmonique 2 est nulle).

Loi de mouvement en sinusoïde modifiée (bleu) et son développement du troisième ordre en série de Fourier (vert).

Une telle loi peut être obtenue par développement en série de Fourier ou bien par régression non-linéaire d'une autre loi comme une trap-mod, une sin-mod ou une loi polynomiale. Ainsi, les trois premières harmoniques pour une loi sin-mod donne :

${\displaystyle a(t)={\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{2}}}\left[5,31\sin \left(2\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)+1,38\sin \left(4\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)+0,620\sin \left(6\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)\right]}$

et

${\displaystyle x(t)=x_{\mathrm {f} }\left[{\frac {t}{\mathrm {T} }}-0,134\cdot \sin \left(2\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)-0,008\,75\cdot \sin \left(4\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)-0,00175\cdot \sin \left(6\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)\right]}$

Notons que la régression des moindres carrés donne un résultat proche :

${\displaystyle a(t)={\frac {x_{\mathrm {f} }}{\mathrm {T} ^{2}}}\left[5,34\sin \left(2\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)+1,42\sin \left(4\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)+0,632\sin \left(6\pi {\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)\right]}$

• (en) « Basic cam motion curves », sur Middle East Technical University (Ankara) (consulté le 21 août 2018)
• (en) « Motion laws », sur MechDesigner & MotionDesigner Help (consulté le 21 août 2018)