Lemme de Weyl (équation de Laplace)

Soit ${\displaystyle \Omega }$ un ouvert de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, l'espace euclidien de dimension n. On note Δ le Laplacien usuel.

Le lemme de Weyl [1] affirme que si une fonction localement intégrable ${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )}$ est une solution faible de l'équation de Laplace, au sens où, si pour toute fonction ${\displaystyle \varphi }$ de classe ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ à support compact on a :

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\,\Delta \varphi (x)\,dx=0}$

alors, quitte à changer sa définition seulement sur un sous-ensemble négligeable de ${\displaystyle \Omega }$, la fonction ${\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )}$ est infiniment dérivable et vérifie ${\displaystyle \Delta u=0}$ en chaque point de ${\displaystyle \Omega }$.

Par corollaire, toutes les fonctions harmoniques sur ${\displaystyle \Omega }$ sont régulières ; mais ce lemme ne permet d'affirmer aucun résultat de régularité sur la frontière du domaine ${\displaystyle \partial \Omega }$.

Pour démontrer le lemme de Weyl, on convolue la fonction ${\displaystyle u}$ avec une suite régularisante ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }}$ et on démontre que sa convolution ${\displaystyle u_{\varepsilon }=\varphi _{\varepsilon }\ast u}$ satisfait l'équation de Laplace, ce qui implique que ${\displaystyle u_{\varepsilon }}$ vérifie la propriété de la moyenne des fonctions harmoniques.

En prenant la limite quand ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ et en utilisant les propriétés des régularisations, on montre que ${\displaystyle u}$ a également la propriété de moyenne, ce qui implique qu'il s'agit d'une solution régulière de l'équation de Laplace[2]. D'autres démonstrations utilisent la régularité de la solution fondamentale du Laplacien ou des estimations elliptiques a priori.

Plus généralement, le même résultat est valable pour chaque solution distributionnelle de l'équation de Laplace : Si ${\displaystyle T\in D'(\Omega )}$ vérifie ${\displaystyle \langle T,\Delta \varphi \rangle =0}$ pour chaque ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$, alors ${\displaystyle T=T_{u}}$ est une distribution régulière associée à une solution lisse ${\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )}$ de l'équation de Laplace[3].

Le lemme de Weyl découle de résultats plus généraux concernant les propriétés de régularité des opérateurs elliptiques ou hypoelliptiques[4]. Un opérateur différentiel partiel linéaire ${\displaystyle P}$ à coefficients réguliers est hypoelliptique si le support singulier de ${\displaystyle Pu}$ est égal au support singulier de ${\displaystyle u}$ pour toute distribution ${\displaystyle u}$.

L'opérateur de Laplace étant hypoelliptique, si ${\displaystyle \Delta u=0}$, alors le support singulier de ${\displaystyle u}$ est vide puisque le support singulier de ${\displaystyle 0}$ est vide, ce qui signifie que ${\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )}$ . Puisque le Laplacien est elliptique, on a un résultat plus fort : les solutions de ${\displaystyle \Delta u=0}$ sont analytiques réelles.

• David Gilbarg et Neil S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 1988 (ISBN 3-540-41160-7)
• Elias Stein, Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, Princeton University Press, 2005 (ISBN 0-691-11386-6)