Largeur arborescente

Informellement, étant donné un graphe non orienté ${\displaystyle G}$, une décomposition arborescente de ${\displaystyle G}$ est un arbre ${\displaystyle T}$ dont les nœuds sont annotés par des sous-ensembles de sommets de ${\displaystyle G}$, qui vérifient les conditions suivantes :

• chaque sommet de ${\displaystyle G}$ apparaît dans l'étiquette d'un nœud de ${\displaystyle T}$ ;
• pour toute arête ${\displaystyle \{v,w\}}$ de ${\displaystyle G}$, il existe un nœud de ${\displaystyle T}$ dont l'étiquette contient ${\displaystyle v}$ et ${\displaystyle w}$ ;
• pour tout sommet ${\displaystyle v}$ de ${\displaystyle G}$, les nœuds de l'arbre qui contiennent ${\displaystyle v}$ forment un sous-arbre connexe de ${\displaystyle T}$.

Formellement, étant donné un graphe non orienté ${\displaystyle G=(V,E)}$, une décomposition arborescente de ${\displaystyle G}$ est un couple ${\displaystyle (T,\lambda )}$ où ${\displaystyle T}$ est un arbre, et ${\displaystyle \lambda }$ est une fonction associant à chaque nœud ${\displaystyle t}$ de ${\displaystyle T}$ un sous-ensemble ${\displaystyle \lambda (t)\subseteq V}$, qui vérifie les conditions suivantes :

• Pour tout sommet ${\displaystyle v\in V}$, il existe un nœud ${\displaystyle t}$ de l'arbre ${\displaystyle T}$ tel que ${\displaystyle v\in \lambda (t)}$. Cette condition revient à imposer que l'union ${\displaystyle \bigcup _{t\in T}\lambda (t)}$ soit égale à ${\displaystyle V}$.
• Pour toute arête ${\displaystyle \{v,w\}\in E}$, il existe un nœud ${\displaystyle t}$ de ${\displaystyle T}$ tel que ${\displaystyle \{v,w\}\subseteq \lambda (t)}$.
• Pour tout sommet ${\displaystyle v\in V}$, les nœuds ${\displaystyle \{t\in T\mid v\in \lambda (t)\}}$ forment un sous-arbre connexe de ${\displaystyle T}$. Cette condition revient à imposer que, pour tous nœuds ${\displaystyle t}$ et ${\displaystyle t'}$ de ${\displaystyle T}$ qui contiennent un même sommet ${\displaystyle v}$ (c'est-à-dire ${\displaystyle v\in \lambda (t)}$ et ${\displaystyle v\in \lambda (t')}$), tous les nœuds ${\displaystyle t''}$ de ${\displaystyle T}$ sur l'unique chaîne simple entre ${\displaystyle t}$ et ${\displaystyle t'}$ satisfont également ${\displaystyle v\in \lambda (t'')}$.

Tout graphe a au moins une décomposition arborescente, par exemple celle où l'arbre ${\displaystyle T}$ a un seul sommet ${\displaystyle t}$ et où ${\displaystyle \lambda (t)=V}$. Dans ce cas, tous les sommets et les arêtes du graphe sont couvertes dans ${\displaystyle \lambda (t)}$, et la condition sur les chemins est trivialement satisfaite. Cependant, cette décomposition n'est pas unique. Plus généralement, tout graphe ${\displaystyle G=(V,E)}$ admet une infinité de décompositions arborescentes : on peut par exemple choisir n'importe quel arbre ${\displaystyle T}$, et définir ${\displaystyle \lambda }$ par ${\displaystyle \lambda (t)=V}$ pour tout nœud ${\displaystyle t}$.

La largeur arborescente d'une décomposition arborescente ${\displaystyle (T,\lambda )}$ est le cardinal de la plus grande étiquette moins un. Formellement, il s'agit de ${\displaystyle \left(\max _{t\in T}\left|\lambda (t)\right|\right)-1}$. Dans l'exemple de la figure, toutes les étiquettes sont de cardinal 3, donc la largeur arborescente de cette décomposition arborescente est 2. La largeur arborescente (treewidth) d'un graphe G est le minimum de la largeur arborescente parmi toutes les décompositions arborescentes de ce graphe.

Si l'on considère une décomposition arborescente triviale où les nœuds sont étiquetés par l'ensemble ${\displaystyle V}$ de tous les sommets du graphe, on constate que tout graphe avec ${\displaystyle n}$ sommets a une largeur arborescente de ${\displaystyle n-1}$ au plus. En revanche, si ${\displaystyle G}$ est un arbre, si on construit ${\displaystyle T}$ en suivant la structure de ${\displaystyle G}$, on peut obtenir une décomposition arborescente de ${\displaystyle G}$ où chaque étiquette contient exactement deux éléments, donc de largeur 1.

Pour tout graphe ${\displaystyle H}$, on note ${\displaystyle \omega (H)}$ l'ordre de la plus grande clique de ${\displaystyle H}$. La largeur arborescente d'un graphe ${\displaystyle G}$ est la plus petite valeur prise par ${\displaystyle \omega (H)-1}$, parmi toutes les triangulations ${\displaystyle H}$ de ${\displaystyle G}$.

Le calcul de la largeur arborescente est NP-difficile[3]. Néanmoins, si ${\displaystyle k}$ est fixé, il existe un algorithme linéaire pour déterminer si la largeur arborescente d'un graphe est ${\displaystyle k}$. La dépendance en ${\displaystyle k}$ du temps d'exécution de l'algorithme est cependant exponentielle. Pour certaines classes particulières de graphes, calculer la largeur arborescente se fait en temps polynomial (arbres, graphes triangulés, etc.).

De nombreux problèmes de graphes NP-difficiles dans le cas général peuvent être résolus en temps polynomial si on se restreint aux graphes de largeur arborescente bornée. C'est donc un bon paramètre pour la complexité paramétrée. Si le problème est exprimable en logique monadique du second ordre, le théorème de Courcelle[4] énonce qu'il peut alors être résolu en temps linéaire (mais la constante est une tour d'exponentielles en ${\displaystyle k}$ qui rend l'algorithme inapplicable en général).

Par exemple, le problème du stable maximum pour des graphes planaires peut-être résolu en temps polynomial pour une largeur arborescente bornée (on prend alors cette largeur comme une constante)[5], ce qui permet d'obtenir un schéma d'approximation en temps polynomial quand on ne contraint pas la largeur.

Le concept de décomposition arborescente a un lien très fort avec les graphes triangulés. Premièrement, la largeur arborescente d'un graphe triangulé H est égale à la taille ${\displaystyle \chi (H)}$ de sa plus grande clique moins un. Deuxièmement, la valeur ${\displaystyle \chi (H)}$ peut être calculée à l'aide d'un algorithme linéaire si le graphe H est triangulé. Dans la littérature de recherche opérationnelle, les algorithmes de calcul de la largeur arborescente d'un graphe G cherchent souvent à déterminer le graphe triangulé H de plus petite valeur ${\displaystyle \chi (H)}$ qui contient G.

• (en) David P. Williamson et David B. Shmoys, Design of approximation algorithms, Cambridge University Press, 2010, 500 p. (présentation en ligne, lire en ligne)
• (en) Hans L. Bodlaender, « A tourist guide through treewidth », Technical report RUU-CS, vol. 92,‎ 1993 (lire en ligne)

• S. Arnborg, D. Corneil et A. Proskurowski, « Complexity of finding embeddings in a k-tree », SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, vol. 8, n^o 2,‎ 1987, p. 277–284 (DOI 10.1137/0608024)