János Pintz

Pintz est surtout connu pour avoir démontré en 2005 (avec Daniel Goldston et Cem Yıldırım)[2] - [3] que

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=0,}$

où p_n désigne le n^e nombre premier. Autrement dit, pour tout réel ε > 0, il existe une infinité de couples de nombres premiers consécutifs p_n et p_n+1 dont la distance est inférieure au produit par ε de l'écart moyen, dans cette zone, entre deux nombres premiers consécutifs, c'est-à-dire tels que p_n+1 – p_n < ε log p_n. Goldston et Yıldırım avaient annoncé ce résultat en 2003 puis s'étaient rétractés[4]. Pintz les rejoignit et ils achevèrent la preuve en 2005. Ils améliorèrent ensuite ce résultat en remplaçant le majorant ε log p_n par ε√log n(log log n)². De plus, en supposant vraie la conjecture d'Elliott-Halberstam, ce qu'ils démontraient prouvait aussi qu'il y a une infinité de couples de nombres premiers consécutifs à distance au plus 16 l'un de l'autre, ce qui est un progrès vers la conjecture des nombres premiers jumeaux.

En outre, Pintz a :

• infirmé la conjecture de Heilbronn (en), avec János Komlós et Endre Szemerédi ;
• démontré, avec Henryk Iwaniec, que pour tout n suffisamment grand, il existe un nombre premier entre n et n + n^23/42 ;
• donné un majorant explicite du plus petit contre-exemple à la conjecture de Mertens, qu'Herman te Riele et Andrew Odlyzko venaient de réfuter non explicitement ;
• donné un majorant en O(x^2/3) du nombre d'entiers naturels inférieurs à x qui ne sont pas sommes de deux nombres premiers ;
• amélioré, avec Imre Z. Ruzsa (en), un résultat de Linnik, en montrant que tout entier pair suffisamment grand est somme de deux premiers et d'au plus huit puissances de 2 ;
• démontré, avec Goldston, S. W. Graham (en) et Yıldırım[5], que l'écart entre deux nombres semi-premiers (i.e. produits de deux nombres premiers) prend une infinité de fois une valeur inférieure ou égale à 6.

Son nombre d'Erdős est 2 à plusieurs titres car il a publié avec — outre Graham, Komlós, Ruzsa et Szemerédi déjà mentionnés — Miklós Ajtai, Antal Balogh, Harold George Diamond, Andrew Granville, Gábor Halász, Andrew Odlyzko et Joel Spencer.

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