Écart entre nombres premiers

En notant p_n le n-ième nombre premier, le n-ième écart est :

${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$.

Ce qui permet aussi d'écrire

${\displaystyle p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}}$.

De même que ${\displaystyle (p_{n})}$, la suite (g_n) est non bornée : si l'on note q_n le produit p₁…p_n, tous les entiers de q_n + 2 à q_n + p_n sont composés[1].

Le premier écart, qui est à la fois le plus petit et le seul écart impair est 1, entre le seul nombre premier pair, 2, et le premier nombre premier impair, 3. Tous les autres écarts sont pairs.

(3, 5, 7) est l'unique triplet de nombres premiers consécutifs dont l'écart est 2.

Tracé de g_n et de diverses bornes.

D'après le postulat de Bertrand, g_n < p_n.

Le théorème des nombres premiers suggère que g_n est[2] asymptotiquement de l'ordre de log n, et la conjecture de Cramér pronostique un comportement en le carré du logarithme[3]. La conjecture des nombres premiers jumeaux dit qu'elle prend la valeur 2 une infinité de fois.

L'écart le plus fréquent entre nombres premiers est d'abord 2, puis 6, et l'on conjecture que ce serait ensuite 30, 210, 2310, … c'est-à-dire les primorielles de p_n[4].