Conjecture de Mertens

En théorie des nombres, si nous définissons la fonction de Mertens ainsi :

${\displaystyle M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)}$

Le graphe montre la fonction de Mertens ${\displaystyle M(n)}$ et les racines carrées ${\displaystyle \pm {\sqrt {n}}}$ pour ${\displaystyle n\leqslant 10\ 000}$. Après avoir calculé ces valeurs, Mertens a supposé que la valeur absolue de ${\displaystyle M(n)}$ était toujours bornée par ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$. Cette hypothèse, connue sous le nom de conjecture de Mertens, a été réfutée en 1985 par Andrew Odlyzko et Herman te Riele.

${\displaystyle \mu }$ étant la fonction de Möbius, alors la conjecture de Mertens énonce que

${\displaystyle |M(n)|<{\sqrt {n}}.}$

Stieltjes prétendit en 1885 que ^M(n)⁄_√n était compris entre deux bornes constantes, qui selon lui pouvaient être –1 et 1. Mertens à son tour publia un article en 1897 affirmant, calcul de M(10⁴) à l'appui, que l'inégalité |M(n)| < √n lui semblait très probable pour tout n > 1.

Or toute inégalité de la forme |M(n)| < c√n, c étant un réel positif, implique l'hypothèse de Riemann.

Plus précisément, l'hypothèse de Riemann est équivalente à :

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\qquad M(x)=O(x^{1/2+\varepsilon }).}$

On démontre un sens de cette équivalence ainsi :

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (z)}}=z\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{z+1}}}~\mathrm {d} x}$

où ζ est la fonction zêta de Riemann. La conjecture de Mertens indiquait que cette intégrale converge pour Re(z) > 1/2, ce qui impliquerait que ¹⁄_ζ est définie pour Re(z) > 1/2 et par symétrie pour Re(z) < 1/2. Ainsi, les seuls zéros non triviaux de ζ vérifieraient Re(z) = 1/2, ce qui est l'énoncé de l'hypothèse de Riemann.

Mais en 1985, Herman te Riele et Andrew Odlyzko ont démontré que la conjecture de Mertens est fausse[1]. Plus précisément, ils ont démontré que ^M(n)⁄_√n a des valeurs supérieures à 1,06 et des valeurs inférieures à –1,009[2]. János Pintz a montré peu après qu'il existe au moins un entier inférieur à exp(3,21.10⁶⁴) réfutant la conjecture[3].

On ignore toujours si ^M(n)⁄_√n est bornée, mais Te Riele et Odlyzko considèrent qu'il est probable que non.