Invariant de courbure (relativité générale)

Les principaux invariants des tenseurs de Riemann et de Weyl sont certains invariants polynomiaux quadratiques.

Les principaux invariants du tenseur de Riemann d'une variété lorentzienne à quatre dimensions sont :

1. Le scalaire de Kretshmann ${\displaystyle K_{1}=R_{abcd}R^{abcd}}$
2. Le scalaire de Chern-Pontryagin ${\displaystyle K_{2}={^{*}R_{abcd}}R^{abcd}}$
3. Le scalaire d'Euler ${\displaystyle K_{3}={^{*}R_{abcd}^{*}}R^{abcd}}$

Ce sont des invariants polynomiaux quadratiques (somme des carrés des composants). Quelques auteurs définissent le scalaire de Chern-Pontryagin en utilisant le duale droit plutôt que le duale gauche.

Le premier d'entre eux a été introduit par Eric Kretschmann. Les deux autres noms sont quelque peu anachroniques, mais depuis que les intégrales des deux derniers sont liées au nombre d'instanton pour l'un et au caractéristique d'Euler pour l'autre, on peut les comprendre.

Les principaux invariants du tenseur de Weyl sont :

1. ${\displaystyle I_{1}=C_{abcd}C^{abcd}}$
2. ${\displaystyle I_{2}={^{*}C_{abcd}}C^{abcd}}$

(Parce que ${\displaystyle {^{*}C^{*}}_{abcd}=-C_{abcd}}$, il n'est pas nécessaire de définir un troisième invariant principal pour le tenseur de Weyl.)

Il existe une relation entre la décomposition de Ricci et les invariants de courbures. Si on applique cette décomposition au tenseur de Riemann pour donner un tenseur de Weyl ainsi qu'une somme de tenseurs du quatrième rang, qui sont par ailleurs construits à partir du tenseur du second rang de Ricci et du scalaire de Ricci., on observe que ces deux ensembles d'invariants sont liés (en dimension 4).

${\displaystyle K_{1}=I_{1}+R_{ab}R^{ab}-{1 \over 3}R^{2}}$

${\displaystyle K_{3}=-I_{1}+R_{ab}R^{ab}-{2 \over 3}R^{2}}$

En quatre dimensions, la décomposition de Bel du tenseur de Riemann par rapport à un champ vectoriel de temps ${\displaystyle {\vec {X}}}$, pas nécessairement en géodésique ou en hypersurface orthogonal, se compose de trois parties :

1. Le tenseur de la gravité électronique ${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}X^{m}X^{n}}$
2. Le tenseur de la gravité magnétique ${\displaystyle B[{\vec {X}}]_{ab}={^{*}R_{ambn}}X^{m}X^{n}}$
3. Le tenseur de la gravité topologique ${\displaystyle L[{\vec {X}}]_{ab}={^{*}R_{ambn}}X^{m}X^{n}}$

À cause du fait qu'ils soient tous transversaux, ils peuvent être représentés comme des opérateurs linéaires de vecteurs en trois dimensions, ou comme des matrices réelles 3x3. Ils sont respectivement symétriques, sans trace, et symétriques (6,8,6 composants linéaires indépendants, pour un total de 20). Si nous nommons ces opérateurs respectivement E,B, et L, les principaux invariants de Riemann sont obtenus comme suit :

• ${\displaystyle K_{1}/4}$ est la trace de E² + L² - 2 B B${\displaystyle ^{T}}$,
• ${\displaystyle -K_{2}/8}$ est la trace de B ( E - L ),
• ${\displaystyle K_{3}/8}$ est la trace de E L - B².

En termes de scalaires de Weyl dans le formalisme de Newman-Penrose, les principaux invariants du tenseur de Weyl peuvent être obtenus en prenant les parties réelles et imaginaires de l'expression

${\displaystyle I_{1}-iI_{2}=16}$ ${\displaystyle (3\Psi _{2}^{2}+\Psi _{0}\Psi _{4}-4\Psi _{1}\Psi _{3})}$

Le principal invariant quadratique du tenseur de Ricci, ${\displaystyle R_{ab}R^{ab}}$, peut être obtenu avec une expression plus compliquée impliquant les scalaires de Ricci.

• Cherubini, C., Bini, D., Capozziello, S. et Ruffini R., « Second order scalar invariants of the Riemann tensor: applications to black hole spacetimes », Int. J. Mod. Phys. D, vol. 11, n^o 6,‎ 2002, p. 827–841 (DOI 10.1142/S0218271802002037, Bibcode 2002IJMPD..11..827C, arXiv gr-qc/0302095) See also the eprint version.
• A. Coley, Hervik, S. et Pelavas, N., « Spacetimes characterized by their scalar curvature invariants », Class. Quantum Grav., vol. 26,‎ 2009, p. 025013 (DOI 10.1088/0264-9381/26/2/025013, Bibcode 2009CQGra..26b5013C, arXiv 0901.0791)
• [Luongo et Quevedo 2012] (en) Orlando Luongo et Hernando Quevedo, « Toward an invariant definition of repulsive gravity », dans Thibault Damour et Robert T. Jantzen (éd.), Proceedings of the twelfth Marcel Grossmann meeting : on recent developments in theoretical and experimental general relativity, astrophysics and relativistic field theories, t. II : Part B : parallel sessions (actes du XII^e congrès Marcel-Grossmann, tenu à Paris du 12 au 18 juill. 2009), Singapour, World Scientific, coll. « Marcel Grossmann meeting » (n^o 12), fév. 2012, 1^re éd., 1 vol., LX-[755]-1579, ill., 18 × 26 cm (ISBN 978-981-437453-8, EAN 9789814374538, OCLC 801091513, DOI 10.1142/8316, SUDOC 160394872, présentation en ligne, lire en ligne), sect. 15, chap. 5, p. 1029-1031 (DOI 10.1142/9789814374552_0122, bibcode 2010arXiv1005.4532L, arXiv 1005.4532, résumé).
• [Géhéniau et Debever 1956] Jules Géhéniau et Robert Debever, « Les quatorze invariants de courbure de l'espace riemannien à quatre dimensions », Helvetica Physica Acta, vol. 29, suppl. 4 : Cinquantenaire de la théorie de la relativité,‎ 1956, p. 101-103 (OCLC 753521392, DOI 10.5169/seals-112727, lire en ligne [PDF]) — suivi d'une discussion avec Leopold Infeld et Marie-Antoinette Tonnelat.
• [Petrov 1969] (en) Alekseĭ Zinov'evich Petrov (trad. du russe par Raymond F. Kelleher et J. Woodrow), Einstein spaces [« Пространства Эйнштейна / Prostranstva Ėĭnshteĭna »] [« Espaces d'Einstein »], Oxford, Pergamon, hors coll.,‎ 1969, 1^re éd., 1 vol., XIII-411, ill., 15,2 × 23,5 cm (ISBN 978-0-08-012315-8, EAN 9780080123158, OCLC 421922660, BNF 44625072, DOI 10.1016/C2013-0-02070-1, Bibcode 1969eisp.book.....P, SUDOC 014118653, présentation en ligne, lire en ligne).