Formule d'Euler-Maclaurin

Soient p et q deux entiers relatifs (p < q), f une fonction continue complexe définie sur [p, q]. L'énoncé qui suit exprime la somme ${\displaystyle {f(p)}+f(p+1)+\cdots +{f(q)}=\sum _{i=p}^{q}f\left(i\right)}$ avec l'intégrale ${\displaystyle \int _{p}^{q}f(x)~{\rm {d}}x}$, les valeurs de f (ainsi que de ses dérivées) aux extrémités f(p) et f(q) et d'un reste.

Si f est une fonction complexe continûment dérivable une fois sur le segment [p, q], la formule d'Euler-Maclaurin s'énonce ainsi :

${\displaystyle \sum _{i=p}^{q}f\left(i\right)={\frac {f(p)+f(q)}{2}}+\int _{p}^{q}f(x)~{\rm {d}}x+R_{0}}$ avec ${\displaystyle R_{0}=\int _{p}^{q}f'(x)\left(x-\lfloor x\rfloor -{\frac {1}{2}}\right)~{\rm {d}}x}$

où ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ est la partie entière de x, notée aussi E(x), et ${\displaystyle x-\lfloor x\rfloor }$ est la partie fractionnaire de x.

Pour une fonction f continûment dérivable 2k fois sur le segment [p, q] (avec k ≥ 1), la formule d'Euler-Maclaurin s'énonce ainsi :

${\displaystyle \sum _{i=p}^{q}f\left(i\right)={\frac {f\left(p\right)+f\left(q\right)}{2}}+\int _{p}^{q}f(x)~{\rm {d}}x+\sum _{j=1}^{k}{\frac {b_{2j}}{(2j)!}}\left(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p)\right)+R_{k}.}$

Les nombres b_2j désignent les nombres de Bernoulli et le reste R_k s'exprime à l'aide du polynôme de Bernoulli B_2k :

${\displaystyle R_{k}=-{1 \over (2k)!}\int _{p}^{q}f^{(2k)}(x)B_{2k}(x-\lfloor x\rfloor )~{\rm {d}}x}$.

La notation B_2k désigne le 2k-ième polynôme de Bernoulli et ${\displaystyle B_{2k}(x-\lfloor x\rfloor )}$ en est une version périodisée, de période 1, égale à B_2k(x) si 0 < x < 1.

${\displaystyle B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}}\qquad B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\qquad B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}}$.

Les nombres de Bernoulli vérifient les égalités ${\displaystyle b_{2k}=B_{2k}(0)=B_{2k}(1)}$.

D'autres expressions du reste sont données plus loin si la fonction f est 2k + 1 fois dérivable ou 2k + 2 fois dérivable.

Si l'on somme de p à q − 1 les nombres f (i), on a :

${\displaystyle \sum _{i=p}^{q-1}f(i)=\int _{p}^{q}f(x)~{\rm {d}}x+{\frac {f(p)-f(q)}{2}}+\sum _{j=1}^{k}{\frac {b_{2j}}{(2j)!}}\left(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p)\right)+R_{k}}$.

Si l'on considère les nombres de Bernoulli d'indice impair : b₁ = –1/2 et b_{2j +1} = 0 si j > 1, on peut énoncer la formule d'Euler-Maclaurin de la manière suivante[N 1] :

pour une fonction complexe f qui est r fois continûment dérivable (avec r > 0) :

${\displaystyle \sum _{i=p}^{q-1}f\left(i\right)=\int _{p}^{q}f(x)~{\rm {d}}x+\sum _{j=1}^{r}{\frac {b_{j}}{j!}}\left(f^{(j-1)}(q)-f^{(j-1)}(p)\right)+R'_{r}}$

On a ${\displaystyle R'_{r}=R_{[{\frac {r}{2}}]},\qquad R_{0}=R'_{1}\qquad {\text{et}}\qquad R_{k}=R'_{2k}=R'_{2k+1}}$ si k > 0.

Avec les notations précédentes, l'expression du reste R'_r pour une fonction complexe r fois continûment dérivable (avec r > 0) est la suivante[N 1] :

${\displaystyle R'_{r}={\frac {(-1)^{r-1}}{r!}}\int _{p}^{q}f^{(r)}(x)B_{r}(x-\lfloor x\rfloor )~{\rm {d}}x}$.

La notation B_r désigne le r-ème polynôme de Bernoulli, et ${\displaystyle B_{r}(x-\lfloor x\rfloor )}$ en est une version périodisée, de période 1, égale à B_r(x) si 0 < x < 1.

${\displaystyle B_{0}(x)=1\qquad B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}}\qquad B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}}\qquad B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\qquad B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}}$.

(Les polynômes et les nombres de Bernoulli sont reliés par les égalités b_r = B_r(0) = B_r(1) si r > 1.).

Une autre formulation équivalente, où l'on somme de p + 1 à q, est donnée par Tenenbaum[2] : pour une fonction complexe f qui est r + 1 fois continûment dérivable (avec r ≥ 0) :

${\displaystyle \sum _{p<n\leqslant q}f\left(n\right)=\int _{p}^{q}f(x)~{\rm {d}}x+\sum _{j=0}^{r}{\frac {(-1)^{j+1}b_{j+1}}{(j+1)!}}\left(f^{(j)}(q)-f^{(j)}(p)\right)+R'_{r+1}}$.

Le coefficient (–1)^j+1 n'intervient dans la formule que pour j = 0. Son rôle est de remplacer le nombre de Bernoulli d'indice 1, b₁ = –1/2, par b'₁ = +1/2.

Si f est 2k fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 1), le reste R_k s'exprime de la manière suivante :

${\displaystyle R_{k}=-{1 \over (2k)!}\int _{p}^{q}f^{(2k)}(x)B_{2k}(x-\lfloor x\rfloor )~{\rm {d}}x.}$

Si f est 2k + 1 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), le reste R_k s'exprime comme suit[N 2] :

${\displaystyle R_{k}={1 \over (2k+1)!}\int _{p}^{q}f^{(2k+1)}(x){B_{2k+1}(x-\lfloor x\rfloor )}~{\rm {d}}x.}$

Si f est une fonction réelle 2k + 2 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), le reste peut s'écrire des manières suivantes[3] :

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{k}&=-{1 \over (2k+2)!}\int _{p}^{q}f^{(2k+2)}(x)(B_{2k+2}(x-\lfloor x\rfloor )-b_{2k+2})~{\rm {d}}x\\&={q-p \over (2k+2)!}b_{2k+2}f^{(2k+2)}(\xi ),\qquad {\text{ avec }}\quad \xi \in \left]p,q\right[.\end{aligned}}}$

Si l'on considère les nombres de Bernoulli sans leur signe (on a ${\displaystyle b_{2k}=(-1)^{k-1}|b_{2k}|}$), la dernière formule s'écrit[4] :

${\displaystyle R_{k}=(-1)^{k}{q-p \over (2k+2)!}|b_{2k+2}|f^{(2k+2)}(\xi ),\qquad {\text{ avec }}\quad \xi \in \left]p,q\right[.}$

Remarque : le reste R_k est nul pour tout polynôme de degré au plus 2k + 1.

Si f est une fonction complexe 2k fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 1), on peut majorer le reste (ou « terme d'erreur ») de la formule d'Euler-Maclaurin en utilisant la majoration des polynômes de Bernoulli d'indice pair[N 3] : ${\displaystyle \sup _{t\in [0\,;\,1]}|B_{2k}(t)|=|b_{2k}|}$ :

${\displaystyle |R_{k}|\leqslant {\frac {|b_{2k}|}{(2k)!}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k)}(x)\right|\mathrm {d} x}$.

Par exemple, avec ${\displaystyle b_{2}={\frac {1}{6}}}$, on a : ${\displaystyle |R_{1}|\leqslant {\frac {1}{12}}\int _{p}^{q}\left|f''(x)\right|\mathrm {d} x}$.

L'inégalité, comme celles qui suivent, peut être réécrite en utilisant la formule due à Euler (pour k ≥ 1) : ${\displaystyle {\frac {|b_{2k}|}{(2k)!}}={\frac {2}{(2\pi )^{2k}}}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2k}}}={\frac {2}{(2\pi )^{2k}}}\zeta (2k)}$. On déduit que ${\displaystyle {\frac {|b_{2k}|}{(2k)!}}\leqslant {\frac {2\zeta (2)}{(2\pi )^{2k}}}}$ (on a l'équivalent : ${\displaystyle {\frac {|b_{2k}|}{(2k)!}}\sim {\frac {2}{(2\pi )^{2k}}}}$).

${\displaystyle |R_{k}|\leqslant {\frac {2\zeta (2)}{(2\pi )^{2k}}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k)}(t)\right|\mathrm {d} t}$.

Si f est une fonction complexe 2k + 1 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), en utilisant la majoration des polynômes de Bernoulli d'indice impair[N 3] - [N 4] : ${\displaystyle |B_{2k+1}(t)|\leqslant (k+{\frac {1}{2}})|b_{2k}|}$ si ${\displaystyle t\in [0\,;\,1]}$ :

${\displaystyle |R_{k}|\leqslant {\frac {(k+{\frac {1}{2}})|b_{2k}|}{(2k+1)!}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(x)\right|\mathrm {d} x={\frac {|b_{2k}|}{2(2k)!}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(x)\right|\mathrm {d} x={\frac {|\zeta (2k)|}{(2\pi )^{2k}}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(x)\right|\mathrm {d} x}$[N 5].

on peut majorer le reste (ou « terme d'erreur ») de la formule d'Euler-Maclaurin[5] - [N 6] :

${\displaystyle |R_{k}|\leqslant {\frac {2}{(2\pi )^{2k}}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(t)\right|\mathrm {d} t}$.

Pour le polynôme de Bernoulli B₃(t), on a le maximum ${\displaystyle \sup _{t\in [0\,;\,1]}|B_{3}(t)|={\frac {\sqrt {3}}{36}}}$ qui permet d'obtenir la majoration :

${\displaystyle |R_{1}|\leqslant {\frac {\sqrt {3}}{216}}\int _{p}^{q}\left|f^{(3)}(t)\right|\mathrm {d} t}$.

Si f est une fonction réelle 2k + 2 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), dont la dérivée d'ordre 2k + 2 est de signe constant[N 7], le reste R_k a le même signe que le « premier terme négligé[6] » :

${\displaystyle R_{k}\approx {\frac {b_{2k+2}}{(2k+2)!}}\left(f^{(2k+1)}(q)-f^{(2k+1)}(p)\right)\approx (-1)^{k}\left(f^{(2k+1)}(q)-f^{(2k+1)}(p)\right)}$.

De plus on a les majorations suivantes[6] :

${\displaystyle |R_{k}|\leqslant 2\left(1-2^{-(2k+2)}\right){\frac {|b_{2k+2}|}{(2k+2)!}}\left|f^{(2k+1)}(q)-f^{(2k+1)}(p)\right|}$.

et

${\displaystyle |R_{k+1}|\leqslant {\frac {|b_{2k+2}|}{(2k+2)!}}\left|f^{(2k+1)}(q)-f^{(2k+1)}(p)\right|}$.

(le reste suivant R_{k + 1} n'excède pas (en valeur absolue) le « dernier terme retenu »[7]).

Si f est une fonction réelle 2k + 4 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), dont les dérivées d'ordre 2k + 2 et 2k + 4 sont de signe constant et de même signe, alors les restes R_k et R_{k + 1} sont de signes opposés et le reste R_k est majoré (en valeur absolue) par le premier terme négligé[6] :

${\displaystyle |R_{k}|\leqslant {\frac {|b_{2k+2}|}{(2k+2)!}}\left|f^{(2k+1)}(q)-f^{(2k+1)}(p)\right|}$.

La formule sommatoire peut être utilisée pour approcher des intégrales par un procédé discret, par exemple dans la méthode des trapèzes ou celle de Romberg, ou à l'inverse pour transformer une somme discrète (finie ou non) et lui appliquer les techniques du calcul infinitésimal.

La formule d'Euler-Maclaurin peut aussi être utilisée pour une estimation précise de l'erreur commise dans le calcul numérique d'une intégrale ; en particulier, c'est sur elle que reposent les méthodes d'extrapolation. La méthode de quadrature de Clenshaw-Curtis est essentiellement un changement de variables ramenant une intégrale arbitraire à l'intégration de fonctions périodiques, pour lesquelles la formule sommatoire est très précise (dans ce cas, elle prend la forme d'une transformée en cosinus discrète).

Dans la méthode des trapèzes, on approxime l'intégrale ${\displaystyle \int _{n}^{n+1}f(x)~{\rm {d}}x}$ par interpolation linéaire sur chaque intervalle [n, n + 1] : ${\displaystyle \int _{n}^{n+1}f(x)~{\rm {d}}x\approx {\frac {f(n)+f(n+1)}{2}}}$.

En sommant sur tous les intervalles de longueur 1, on approxime l'intégrale ${\displaystyle \int _{p}^{q}f(x)~{\rm {d}}x}$ par la somme

${\displaystyle {\frac {f(p)}{2}}+f(p+1)+f(p+2)+\ldots +f(q-1)+{\frac {f(q)}{2}}={\frac {f\left(p\right)+f\left(q\right)}{2}}+\sum _{i=p+1}^{q-1}f\left(i\right)}$

La formule d'Euler-Maclaurin peut s'écrire :

${\displaystyle \int _{p}^{q}f(x)~{\rm {d}}x={\frac {f\left(p\right)+f\left(q\right)}{2}}+\sum _{i=p+1}^{q-1}f\left(i\right)-\sum _{j=1}^{k}{\frac {b_{2j}}{(2j)!}}\left(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p)\right)-R_{k}}$

Un simple changement de variable permet d'obtenir une formule analogue pour une fonction définie sur un segment à bornes non entières. Les restes sont donnés avec le « point moyen » ${\displaystyle \;\xi \in ~]a,b[}$ pour une fonction dérivable 2k + 2 fois.

En posant ${\displaystyle h={\frac {b-a}{N}}}$, on a[8] :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)~{\rm {d}}x=h{\frac {f\left(a\right)+f\left(b\right)}{2}}+h\sum _{m=1}^{N-1}f\left(a+mh\right)-\sum _{j=1}^{k}{\frac {b_{2j}}{(2j)!}}h^{2j}\left(f^{(2j-1)}(b)-f^{(2j-1)}(a)\right)-(b-a){\frac {b_{2k+2}}{(2k+2)!}}f^{(2k+2)}(\xi )h^{2k+2}}$.

Le « terme d'erreur » peut également s'écrire : ${\displaystyle -R_{k}=-(b-a){\frac {b_{2k+2}}{(2k+2)!}}f^{(2k+2)}(\xi )h^{2k+2}=-{\frac {b_{2k+2}(b-a)^{2k+3}}{(2k+2)!N^{2k+2}}}f^{(2k+2)}(\xi )}$.

Si N = 1, on a une formule où n'interviennent que les extrémités a et b[9] :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)~{\rm {d}}x=(b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}-\sum _{j=1}^{k}{\frac {(b-a)^{2j}}{(2j)!}}b_{2j}\left(f^{(2j-1)}(b)-f^{(2j-1)}(a)\right)-(b-a)^{2k+3}{\frac {b_{2k+2}}{(2k+2)!}}f^{(2k+2)}(\xi )}$

Les premiers polynômes de Bernoulli sont :

${\displaystyle B_{0}(y)=1,\quad B_{1}(y)=y-{\frac {1}{2}},\quad B_{2}(y)=y^{2}-y+{\frac {1}{6}}}$.

${\displaystyle R_{0}={\frac {f\left(p\right)+f\left(q\right)}{2}}+\sum _{n=p+1}^{q-1}f\left(n\right)-\int _{p}^{q}f(x)~{\rm {d}}x}$.

(-R₀) est l'erreur faite en approximant l'intégrale ${\displaystyle \int _{n}^{n+1}f(x)~{\rm {d}}x\approx {\frac {f(n)+f(n+1)}{2}}}$ par la méthode des trapèzes sur chaque intervalle [n, n + 1].

Si f est continûment dérivable une fois (on pose ${\displaystyle y=x-\lfloor x\rfloor }$[10]) :

${\displaystyle R_{0}=\int _{p}^{q}f'(x){B_{1}(y)}~{\rm {d}}x=\int _{p}^{q}f'(x)\left(y-{\tfrac {1}{2}}\right)~{\rm {d}}x}$

Si f est une fonction réelle continûment dérivable deux fois[11] :

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{0}=-{\frac {1}{2!}}\int _{p}^{q}f''(x)\left(B_{2}(y)-{\tfrac {1}{6}}\right)~{\rm {d}}x&=-{\frac {1}{2}}\int _{p}^{q}f''(x)(y^{2}-y)~{\rm {d}}x\\&={\frac {q-p}{12}}f''(\xi )\qquad ({\text{avec }}\;\xi \in \left]p,q\right[).\end{aligned}}}$

Les polynômes de Bernoulli qui interviennent sont[N 8] :

${\displaystyle B_{2}(y)=y^{2}-y+{\frac {1}{6}},\quad B_{3}(y)=y^{3}-{\frac {3}{2}}y^{2}+{\frac {1}{2}}y=y(y-1)\left(y-{\tfrac {1}{2}}\right),\quad B_{4}(y)=y^{4}-2y^{3}+y^{2}-{\frac {1}{30}}=(y^{2}-y)^{2}-{\frac {1}{30}}}$.

${\displaystyle R_{1}={\frac {f\left(p\right)+f\left(q\right)}{2}}+\sum _{n=p+1}^{q-1}f\left(n\right)-\int _{p}^{q}f(x)~{\rm {d}}x-{\frac {1}{12}}(f'(q)-f'(p))}$.

(–R₁) est le terme d'erreur correspondant à la formule de quadrature[12], exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à trois :

${\displaystyle \int _{p}^{q}f(x)~{\rm {d}}x\approx {\frac {f\left(p\right)+f\left(q\right)}{2}}+\sum _{n=p+1}^{q-1}f\left(n\right)+{\frac {f'(p)-f'(q)}{12}}}$

(dans l'article Calcul numérique d'une intégrale, il s'agit de la formule de Newton-Coates généralisée NC-2-2).

Si f est continûment dérivable deux fois (en posant ${\displaystyle y=x-\lfloor x\rfloor }$[10]) :

${\displaystyle R_{1}=-{\frac {1}{2!}}\int _{p}^{q}f''(x){B_{2}(y)}~{\rm {d}}x=-{\frac {1}{2}}\int _{p}^{q}f''(x)\left(y^{2}-y+{\tfrac {1}{6}}\right)~{\rm {d}}x.}$

Si f est continûment dérivable trois fois :

${\displaystyle R_{1}={\frac {1}{3!}}\int _{p}^{q}f'''(x){B_{3}(y)}~{\rm {d}}x={\frac {1}{6}}\int _{p}^{q}f'''(x)\left(y^{3}-{\tfrac {3}{2}}y^{2}+{\tfrac {1}{2}}y\right)~{\rm {d}}x.}$

Si f est une fonction réelle continûment dérivable quatre fois :

${\displaystyle R_{1}=-{\frac {1}{4!}}\int _{p}^{q}f^{(4)}(x)\left(B_{4}(y)+{\tfrac {1}{30}}\right)~{\rm {d}}x=-{\frac {1}{24}}\int _{p}^{q}f^{(4)}(x)(y^{2}-y)^{2}~{\rm {d}}x=-{\frac {q-p}{720}}f^{(4)}(\xi )\qquad ({\text{avec }}\;\xi \in \left]p,q\right[).}$

Le problème de Bâle demandait de déterminer la somme ${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$

Euler calcula cette somme à 20 décimales en utilisant seulement quelques termes de la formule d'Euler-Maclaurin. Ce calcul le convainquit probablement qu'elle valait π²/6, résultat qu'il publia en 1735 (mais avec des arguments incorrects ; il lui fallut six ans de plus pour trouver une démonstration rigoureuse)[13].

Si f est un polynôme de degré d et si l'on applique la formule sommatoire avec p = 0, q = n et k choisi tel que d ≤ 2k +1, le reste R_k disparaît.

Par exemple, si f(x) = x³, on peut prendre k = 1 pour obtenir

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\int _{0}^{n}x^{3}\mathrm {d} x+{\frac {0^{3}+n^{3}}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {3n^{2}-0}{2!}}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}={\frac {n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4}}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}$.

Pour déterminer des développements asymptotiques de sommes et de séries, la forme la plus utile de la formule sommatoire est sans doute (pour a et b entiers) :

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \int _{a}^{b}f(x)~{\rm {d}}x+{\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{j=1}^{\infty }\,{\frac {B_{2j}}{(2j)!}}\left(f^{(2j-1)}(b)-f^{(2j-1)}(a)\right)}$

Ce développement reste souvent valide même lorsque l'on prend les limites quand a → –∞ ou b → +∞, ou les deux. Dans de nombreux cas, l'intégrale de droite peut être calculée de manière exacte avec des fonctions élémentaires, alors que ce n'est pas le cas de la somme.

L'écriture précédente doit être interprétée comme une série formelle, car, le plus souvent, cette série est divergente ; la formule ne peut en général pas être exploitée directement sous cette forme. Toutefois, Euler avait déjà remarqué qu'on obtenait une précision numérique remarquable en tronquant la formule au plus petit terme de la série, ce qui fut précisé et expliqué par les travaux d'Émile Borel[14].

Par exemple :

${\displaystyle \underbrace {\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}} _{=\psi _{1}(z)}\sim \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+x)^{2}}}~{\rm {d}}x} _{=1/z}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {B_{2j}}{z^{2j+1}}}.\,}$

Ici, le membre de gauche est égal à ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$, c'est-à-dire à la fonction polygamma d'ordre 1 (appelée aussi fonction trigamma) définie à partir de la fonction Gamma : ${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\ln \Gamma (z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}}$.

La formule d'Euler Maclaurin amène à un développement asymptotique de ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$, lequel permet une estimation précise de l'erreur de la formule de Stirling pour la fonction Gamma :

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=z\ln z-z-{\frac {1}{2}}\ln {z}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}}+R_{N}(z)}$.

${\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\,{\left({\frac {z}{e}}\right)}^{z}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right).}$