Forme de l'Univers

Les équations de Friedmann relient le paramètre de Hubble ${\displaystyle H}$ à la courbure ${\displaystyle K}$ (valant –1, 0, +1) et à la masse volumique moyenne de la matière ${\displaystyle \rho }$ selon la formule :

${\displaystyle 3\left({\frac {H^{2}}{c^{2}}}+{\frac {K}{a^{2}}}\right)=8\pi {\frac {G}{c^{2}}}\rho }$,

où ${\displaystyle G}$ est la constante gravitationnelle de Newton, ${\displaystyle c}$ la vitesse de la lumière et ${\displaystyle a}$ le facteur d'échelle. La courbure spatiale (unité : l'inverse du carré d'une longueur) correspond ici à ${\displaystyle K/a^{2}}$. En introduisant la densité critique ${\displaystyle \rho _{\rm {c}}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}}$ et le paramètre de densité ${\displaystyle \Omega =\rho /\rho _{\rm {c}}}$, il est possible de réécrire l'égalité précédente selon la formule :

${\displaystyle 1+{\frac {Kc^{2}}{a^{2}H^{2}}}=1-\Omega \kappa =\Omega ={\frac {8\pi G\rho }{3H^{2}}}}$.

Le rayon de courbure ${\displaystyle R_{c}}$ des sections spatiales peut donc s'écrire en fonction de l'écart à 1 du paramètre de densité et du rayon de Hubble, ${\displaystyle R_{H}=c/H}$, selon la formule :

${\displaystyle R_{c}={\frac {R_{H}}{\sqrt {|\Omega -1|}}}}$

Cette dernière égalité permet de voir quel écart éventuel à 1 du paramètre de densité l'on peut espérer mesurer. Pour que les effets géométriques (liés à la relation entre taille angulaire et distance) soient mesurables du fait d'une courbure non nulle, il faut que le rayon de courbure ne soit pas trop grand par rapport au rayon de l'Univers observable. Dans le modèle standard de la cosmologie, cette dernière est de l'ordre de trois rayons de Hubble. Ainsi, les effets géométriques dus à une courbure spatiale non nulle sont mesurables dès que la quantité

${\displaystyle 3{\sqrt {|\Omega -1|}}}$

n'est pas négligeable devant 1. De façon un peu inattendue, cela prouve que des valeurs de ${\displaystyle \Omega }$ de 0,97 ou 1,03 peuvent être distinguées sans trop de difficulté, quand bien même les incertitudes sur la densité critique et la densité de matière (dont le rapport est égal à ${\displaystyle \Omega }$) sont importantes.

Il est parfois dit que le signe de la courbure spatiale détermine le devenir de l'expansion de l'Univers, celui-ci connaissant une expansion éternelle si la courbure est négative ou nulle, ou un arrêt de cette expansion suivi d'un Big Crunch quand la courbure est positive. Cette assertion est correcte dans le cas d'un Univers de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, mais est, de manière générale, erronée, car elle dépend du contenu matériel de l'Univers. Ainsi, dans le cas où on a de la matière ordinaire et une constante cosmologique, la situation devient très différente. En particulier un univers à courbure positive et constante cosmologique positive peut :

• soit être issu d'un Big Bang et finir par se recontracter, quand la constante cosmologique est faible
• soit avoir le même passé, mais une expansion éternelle si la constante cosmologique est suffisamment grande
• soit être statique (c'est l'univers d'Einstein)
• soit avoir connu par le passé une phase de contraction, suivie d'une phase de rebond et d'une expansion éternelle (un des cas possibles de l'univers de de Sitter).

Le modèle standard de la cosmologie est à l'heure actuelle dominé par l'idée que l'Univers a connu une phase d'expansion extrêmement violente dans son passé, appelée inflation. Ce modèle prédit que les sections spatiales de l'Univers sont euclidiennes, en tout cas sur des échelles de l'ordre de la taille de l'Univers observable. Un écart avéré de la courbure spatiale à la valeur nulle serait considéré comme un argument très fort en défaveur de l'inflation, même si celle-ci pourrait s'accommoder d'un tel résultat, mais en nécessitant des paramètres assez peu naturels.

La courbure spatiale de l'Univers est déterminée en analysant les anisotropies du fond diffus cosmologique. Actuellement, les données les plus précises sont celles qui ont été fournies par le satellite Planck en 2013. D'après ces mesures, il y a 95 % de chances pour que :

${\displaystyle -0,0029<1-\Omega =\Omega \kappa <+0,0008}$ [6] où ${\displaystyle \Omega \kappa =-{\frac {Kc^{2}}{a^{2}H^{2}}}}$

On ne sait donc toujours pas si l'Univers a une courbure positive (K = +1, Ω_κ < 0, Ω > 1), négative (K = −1, Ω_κ > 0, Ω < 1), ou nulle (K = 0, Ω_κ = 0, Ω = 1). Cependant on peut affirmer que le rayon de l'Univers est supérieur à 19 fois le rayon de Hubble si la courbure de l'Univers est positive et supérieur à 33 fois le rayon de Hubble si elle est négative[6].