Distance de Wasserstein

Si ${\displaystyle \mu _{1}=\delta _{a_{1}}}$ et ${\displaystyle \mu _{2}=\delta _{a_{2}}}$ sont deux masses ponctuelles (c'est-à-dire des mesures de Dirac) situées aux points ${\displaystyle a_{1}}$ et ${\displaystyle a_{2}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Il n'y a qu'un seul couplage possible de ces deux mesures, à savoir la masse ponctuelle ${\displaystyle \delta _{(a_{1},a_{2})}}$ situé en ${\displaystyle (a_{1},a_{2})\in \mathbb {R} ^{2}}$. Ainsi, en utilisant la distance induite par la valeur absolue comme distance sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, pour tout ${\displaystyle p\geq 1}$, la distance de Wasserstein d'ordre p entre ${\displaystyle \mu _{1}}$ et ${\displaystyle \mu _{2}}$ est

${\displaystyle W_{p}(\mu _{1},\mu _{2})=|a_{1}-a_{2}|}$.

De même si ${\displaystyle \mu _{1}=\delta _{a_{1}}}$ et ${\displaystyle \mu _{2}=\delta _{a_{2}}}$ sont des masses ponctuelles situées aux points ${\displaystyle a_{1}}$ et ${\displaystyle a_{2}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, et si ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ est muni de la norme euclidienne, alors

${\displaystyle W_{p}(\mu _{1},\mu _{2})=\|a_{1}-a_{2}\|_{2}.}$

Soit ${\displaystyle \mu _{1}={\mathcal {N}}(m_{1},C_{1})}$ et ${\displaystyle \mu _{2}={\mathcal {N}}(m_{2},C_{2})}$ deux lois normales sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, de moyennes respectives ${\displaystyle m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{2}\in \mathbb {R} ^{n}}$ et de matrices de variance-covariance ${\displaystyle C_{1}}$ et ${\displaystyle C_{2}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$. Alors[3], par rapport à la norme euclidienne usuelle sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, la distance de Wasserstein d'ordre 2 entre ${\displaystyle \mu _{1}}$ et ${\displaystyle \mu _{2}}$ est

${\displaystyle W_{2}(\mu _{1},\mu _{2})^{2}=\|m_{1}-m_{2}\|_{2}^{2}+\operatorname {Tr} {\bigl (}C_{1}+C_{2}-2{\bigl (}C_{2}^{1/2}C_{1}C_{2}^{1/2}{\bigr )}^{1/2}{\bigr )}.}$

où Tr désigne la trace d'une matrice.

La distance ${\displaystyle W_{p}}$ satisfait tous les axiomes d'une distance sur ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{p}({\mathcal {X}})}$. De plus, la convergence pour cette distance est équivalente à la convergence faible de mesures plus la convergence des premiers p ième moments[7].

La représentation duale suivante de W₁ est un cas particulier du théorème de dualité de Kantorovich et Rubinstein (1958) : si μ et ν ont un support borné, alors

${\displaystyle W_{1}(\mu ,\nu )=\sup \left\{\int _{\mathcal {X}}f(x)\,\mathrm {d} (\mu -\nu )(x)\,;\,f:{\mathcal {X}}\to \mathbb {R} {\text{ continue et }}\operatorname {Lip} (f)\leq 1\right\}}$

où Lip(f) désigne la constante de Lipschitz minimale de f.

Il existe une ressemblance avec la distance de Radon :

${\displaystyle \rho (\mu ,\nu ):=\sup \left\{\int _{\mathcal {X}}f(x)\,\mathrm {d} (\mu -\nu )(x)\,;\,f:{\mathcal {X}}\to [-1,1]{\text{ continue}}\right\}}$

Si la distance d est bornée par une constante C, alors

${\displaystyle 2W_{1}(\mu ,\nu )\leq C\rho (\mu ,\nu )}$

et ainsi la convergence pour la distance de Radon (identique à la convergence en variation totale lorsque ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ est un espace polonais) implique la convergence pour la distance de Wasserstein, mais pas l'inverse.

Sous des hypothèses appropriées, la distance de Wasserstein ${\displaystyle W_{2}}$ d'ordre deux est Lipschitz équivalente à une norme de Sobolev homogène d'ordre négatif[8] . Plus précisément, si ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ est une variété riemannienne connexe munie d'une mesure positive ${\displaystyle \pi }$, alors on peut définir pour ${\displaystyle f\,\colon {\mathcal {X}}\to \mathbb {R} }$ la semi-norme

${\displaystyle \|f\|_{{\dot {H}}^{1}(\pi )}^{2}=\int |\nabla f(x)|^{2}\,\mathrm {d} \pi }$

et pour une mesure signée ${\displaystyle \mu }$ sur ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ la norme duale

${\displaystyle \|\mu \|_{{\dot {H}}^{-1}(\pi )}=\sup {\bigg \{}|\langle f,\mu \rangle |\,;\,\|f\|_{{\dot {H}}^{1}(\pi )}\leq 1{\bigg \}}.}$

Alors deux mesures de probabilité ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \nu }$ sur ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ satisfont l'inegalité

${\displaystyle W_{2}(\mu ,\nu )\leq 2\|\mu -\nu \|_{{\dot {H}}^{-1}(\mu )}.}$

Inversement, si ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \nu }$ ont chacune des densités par rapport à la mesure de volume standard sur ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ qui sont tous deux délimités au-dessus d'un certain ${\displaystyle 0<C<\infty }$, et si ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ a une courbure de Ricci non négative, alors

${\displaystyle \|\mu -\nu \|_{{\dot {H}}^{-1}(\mu )}\leq {\sqrt {C}}\,W_{2}(\mu ,\nu ).}$

Pour tout ${\displaystyle p\geq 1}$, l'espace métrique ${\displaystyle ({\mathcal {P}}_{p}({\mathcal {X}}),W_{p})}$ est séparable, et est complet si ${\displaystyle ({\mathcal {X}},d)}$ est séparable et complet[9].