Analyse procustéenne

Illustration de l'analyse : un carré de référence en bleu et un quadrilatère à analyser en vert

La première étape en analyse Procuste est de rechercher, dans la forme à étudier, un certain nombre de points considérés comme des points de référence ou points d'intérêt qui pourront résumer la forme étudiée. Pour illustrer la résolution du problème de Procuste, on peut considérer le cas d'une victime, symbolisée par les quatre points du quadrilatère vert sur le schéma, que l'on cherche à allonger sur un lit carré (en bleu sur le schéma), de côté 1, centré sur l'origine.

La méthode de base, illustrée ici, consiste en la suppression des trois composantes en translation, rotation et échelle du quadrilatère vert. La seule contrainte sur l'ordre des opérations est que la rotation doit être effectuée en dernier.

Le quadrilatère à analyser est centré sur l'origine grâce à la translation

La forme à analyser et la référence sont maintenant toutes deux centrées sur l'origine.

Il faut que le centre du quadrilatère considéré coïncide avec le centre de la forme de référence, qui se situe à l'origine du repère. Pour cela, il suffit de calculer les coordonnées du centre du quadrilatère vert :

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}},\quad {\bar {y}}={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}{4}}}$

où ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\cdots (x_{4},y_{4})}$ sont les coordonnées des quatre sommets du quadrilatère vert, puis d'appliquer à tous ces points la transformation ${\displaystyle (x,y)\to (x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})}$ :

La surface du quadrilatère à analyser est rendue égale à celle du carré de référence (qui vaut 1).

Il existe différents moyens de calculer la taille de la victime (ils dépendent principalement de la métrique choisie). Considérons ici un des plus utilisés, où la taille du quadrilatère à analyser est :

${\displaystyle s={\sqrt {(x_{1}-{\bar {x}})^{2}+(y_{1}-{\bar {y}})^{2}+\cdots +(x_{4}-{\bar {x}})^{2}+(y_{4}-{\bar {y}})^{2}}}}$

Il s'agit de donner à la forme considérée la même taille que celle de la forme de référence. Comme celle-ci est 1, il suffit d'appliquer la transformation ${\displaystyle (x,y)\to ({\frac {x}{s}},{\frac {y}{s}})}$ à tous les points de la forme.

Le quadrilatère à analyser est tourné de manière à minimiser la distance de Procuste.

La dernière étape, la plus complexe, consiste à trouver de quel angle ${\displaystyle \theta }$ il faut tourner le quadrilatère vert pour répartir au mieux entre les quatre points qui constituent les formes la différence qu'il présente avec la forme de référence.

Mathématiquement, cette différence s'exprime par une distance (qui dépend, comme la surface, de la métrique choisie) que l'on minimise en fonction de ${\displaystyle \theta }$, en utilisant par exemple la méthode des moindres carrés.

Cette distance, une fois minimisée, s'appelle distance de Procuste et n'a d'intérêt que comparée à la distance de Procuste d'autres spécimens. Par exemple en biologie la comparaison de formes de crânes permet d'évaluer la distance entre plusieurs espèces[a 1].

Le sujet de l'analyse est une forme ${\displaystyle V}$, composée de ${\displaystyle k}$ points d'intérêt de dimension ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (v_{11},\ldots ,v_{n1})\cdots (v_{1k},\ldots ,v_{nk})}$, que l'on comparera à une référence ${\displaystyle L=\{(l_{11},\ldots ,l_{n1})\cdots (l_{1k},\ldots ,l_{nk})\}}$.

La forme fait partie d'une classe d'équivalence, générée en supprimant les composantes de translation, rotation et d'échelle.

Le problème que résout l'analyse procustéenne est la minimisation de la distance entre ${\displaystyle V}$ et ${\displaystyle L}$, en utilisant uniquement sur ${\displaystyle V}$ translations, rotations et homothéties. C'est-à-dire que l'on recherche :

${\displaystyle \min _{t\in T}||L-t(V)||}$

où ${\displaystyle T}$ est l'ensemble des compositions des translations, rotations et homothéties (les mouvements que Procuste peut effectuer avec sa hache), et ${\displaystyle ||\cdot ||}$ la norme correspondant à la distance choisie, bien souvent définie par[1] :

${\displaystyle P_{d}^{2}=\sum _{j=1}^{k}((v_{1j}-l_{1j})^{2}+\cdots +(v_{nj}-l_{nj})^{2})}$

Le formalisme matriciel est en réalité celui qui prévaut dans la littérature (le formalisme géométrique n'ayant qu'un intérêt pédagogique).

En reprenant les notations du formalisme géométrique, le problème de Procuste revient à modifier une matrice ${\displaystyle \mathbf {V} }$ de dimension ${\displaystyle (k\times n)}$ (le voyageur) pour minimiser sa distance à un lit de Procuste ${\displaystyle \mathbf {L} }$, également de dimension ${\displaystyle (k\times n)}$, à l'aide d'une autre matrice ${\displaystyle \mathbf {T} }$, la matrice des opérations permises à Procuste, de dimension ${\displaystyle (n\times n)}$. C'est-à-dire que l'on cherchera[b 1] :

${\displaystyle \min _{T}||\mathbf {VT} -\mathbf {L} ||}$

Dans le cas où ${\displaystyle \mathbf {T} }$ est réelle, la solution du problème s'estime par[b 2] :

${\displaystyle \mathbf {T} =(\mathbf {V} ^{\mathsf {T}}\mathbf {V} )^{-1}\mathbf {V} ^{\mathsf {T}}\mathbf {L} }$

(en) J.C. Gower et G.B. Dijksterhuis, Procrustes Problems, Oxford University Press, 2004

Autres :

• Reconnaissance de formes
• Problème de Procuste orthogonal
• Analyse procustéenne généralisée
• Point d'intérêt (morphométrie)
• Recalage d'images

• (en) « A Glossary for Geometric Morphometrics (part 2) » sur le site officiel du département « The Biological Sciences » de l'université d'État de New York à Stony Brook