Courbe parallèle

• Pour une même valeur paramètre, les vecteurs tangents sont colinéaires : ${\displaystyle {\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad }$
• En notant ${\displaystyle k(t)}$ la courbure de la courbe donnée, la courbure de la courbe parallèle ${\displaystyle k_{d}(t)}$ est donnée par ${\displaystyle k_{d}(t)={\frac {k(t)}{1+dk(t)}}.}$
• et son rayon de courbure par ${\displaystyle R_{d}(t)=R(t)+d,\quad }$ avec ${\displaystyle R(t)}$ le rayon de courbure de la courbe donnée
• Lorsqu'ils existent, les cercles osculateurs de courbes parallèles aux points correspondants sont concentriques[11].
• Comme pour les droites parallèles, une droite normale à une courbe est aussi normale à ses parallèles.
• Lorsque des courbes parallèles sont construites, elles auront des points de rebroussement lorsque la distance de la courbe correspond au rayon de courbure. Ce sont les points où la courbe touche la développée.
• Si la courbe génératrice est une frontière d'un ensemble plan et que sa courbe parallèle est sans auto-intersections, alors cette dernière est la frontière de la somme de Minkowski de l'ensemble plan et du disque de rayon donné[12].

Si la courbe donnée est polynomiale (ce qui signifie que ${\displaystyle x(t)}$ et ${\displaystyle y(t)}$ sont des polynômes), alors les courbes parallèles ne sont généralement pas polynomiales. Dans le domaine de la CAO, c'est un inconvénient, car les systèmes de CAO utilisent des polynômes ou des courbes algébriques. Afin d'obtenir au moins des courbes algébriques, la racine carrée de la représentation de la courbe parallèle doit pouvoir être résolue. Ces courbes sont appelées courbes hodographes pythagoriciennes et ont été étudiées par RT Farouki[13].

Les courbes parallèles d'un cercle (rouge) sont aussi des cercles

• Les courbes parallèles à un cercle de centre (x₀ , y₀) et de rayon r sont les courbes d'équations paramétriques

${\displaystyle x_{d}(t)=x(t)+d\cos(t)=x_{0}+(r+d)\cos(t),\ y_{d}(t)=y(t)+d\sin(t)=y_{0}+(r+d)\sin(t)}$

Ce sont donc bien des cercles concentriques, de même centre que le cercle de base.

• Les courbes parallèles à une ellipse de centre (x₀ , y₀) et de demi-axes a et b sont les courbes d'équations paramétriques

${\displaystyle x_{d}(t)=\left(a+{\frac {bd}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}(t)+b^{2}\cos ^{2}(t)}}}\right)\cos(t),\ y_{d}(t)=\left(b+{\frac {ad}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}(t)+b^{2}\cos ^{2}(t)}}}\right)\sin(t)}$

Ce sont des courbes algébriques octiques, dont certaines rappellent la courbe de Talbot.

• ${\displaystyle |\operatorname {grad} h({\vec {x}})|=1\;,}$
• ${\displaystyle h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=h({\vec {x}})+d\;,}$
• ${\displaystyle \operatorname {grad} h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=\operatorname {grad} h({\vec {x}})\;.}$

Exemple

Le diagramme montre des courbes parallèles de la courbe implicite d'équation ${\displaystyle \;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0\;.}$

Remarque[12] - [15]: Les courbes ${\displaystyle \;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=d\;}$ ne sont pas des courbes parallèles, car ${\displaystyle \;|\operatorname {grad} f(x,y)|=1\;}$ n'est pas vrai dans la zone d'intérêt.

Comme décrit ci-dessus, la représentation paramétrique d'une courbe parallèle, ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)}$, à une courbure donnée, ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$, avec distance ${\displaystyle |d|}$ est:

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)}$ avec le vecteur normal unitaire ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$ .

Dans un virage serré (${\displaystyle t=t_{c}}$), la normale à ${\displaystyle {\vec {x}}(t_{c})}$ donné par ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c})}$ est discontinue, c'est-à-dire la limite à gauche de la normale ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})}$ est différente de la limite à droite ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{+})}$ . Mathématiquement,

${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})=\lim _{t\to t_{c}^{-}}{\vec {n}}(t)\neq {\vec {n}}(t_{c}^{+})=\lim _{t\to t_{c}^{+}}{\vec {n}}(t)}$ .

Éventail normal pour définir des courbes parallèles autour d'un angle vif

Cependant, on peut définir un ventilateur normal ${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )}$ qui fournit une interpolation entre ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})}$ et ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{+})}$, et utilise ${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )}$ au lieu de ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c})}$ à l'angle aigu :

${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )={\frac {(1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})}{\lVert (1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})\rVert }},\quad }$ où ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ .

La définition résultante de la courbe parallèle ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)}$ fournit le comportement souhaité :

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\begin{cases}{\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t),&{\text{ si }}t<t_{c}{\text{ ou }}t>t_{c}\\{\vec {x}}(t_{c})+d{\vec {n}}_{f}(\alpha ),&{\text{ si }}t=t_{c}{\text{ avec }}0<\alpha <1\end{cases}}}$

• Pour un même paramètre, les vecteurs tangents sont colinéaires[21]: ${\displaystyle {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial u}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial u},\quad {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial v}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial v},\quad }$
• Les vecteurs normaux pour un même paramètre ont même direction : ${\displaystyle {\vec {n}}_{d}(u,v)=\pm {\vec {n}}(u,v),\quad }$
• ${\displaystyle S_{d}=(1+dS)^{-1}S,\quad }$ où ${\displaystyle S_{d}}$ et ${\displaystyle S}$ sont les opérateurs de forme pour ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$ et ${\displaystyle {\vec {x}}}$, respectivement.

Les courbures principales sont les valeurs propres de l'opérateur de forme, les directions de courbure principales sont ses vecteurs propres, la courbure gaussienne est son déterminant et la courbure moyenne est la moitié de sa trace.

• ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+dI,\quad }$ où ${\displaystyle S_{d}^{-1}}$ et ${\displaystyle S^{-1}}$ sont les inverses des opérateurs de forme pour ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$ et ${\displaystyle {\vec {x}}}$, respectivement.

Les rayons de courbure principaux sont les valeurs propres de l'inverse de l'opérateur de forme, les directions de courbure principales sont ses vecteurs propres, l'inverse de la courbure gaussienne est son déterminant et le rayon de courbure moyen est la moitié de sa trace.

On remarque ainsi une similarité avec les propriétés géométriques des courbes parallèles.

Soient une représentation paramétrique régulière d'une courbe, ${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(x(t),y(t))}$, et une seconde courbe paramétrable par sa normale unitaire, ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$, où la normale de ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$ (cette paramétrisation par la normale existe pour les courbes dont la courbure est strictement positive ou négative, et donc convexe, lisse, et non droite). La représentation paramétrique de la courbe générale de décalage de ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ compensé par ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ est:

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+{\vec {d}}({\vec {n}}(t)),\quad }$ où ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$ est la normale unitaire de ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ .

On voit bien que le décalage trivial, ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$, donne des courbes parallèles ordinaires (c'est-à-dire décalées).

• Pour un paramètre donné, les vecteurs tangents sont colinéaires[21]: ${\displaystyle {\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad }$
• Comme pour les lignes parallèles, une normale à une courbe est également normale à ses décalages généraux.
• ${\displaystyle k_{d}(t)={\dfrac {k(t)}{1+{\dfrac {k(t)}{k_{n}(t)}}}},\quad }$ avec ${\displaystyle k_{d}(t)}$ la courbure de la courbe générale de décalage, ${\displaystyle k(t)}$ la courbure de ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$, et ${\displaystyle k_{n}(t)}$ la courbure de ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}(t))}$ pour le paramètre ${\displaystyle t}$ .
• ${\displaystyle R_{d}(t)=R(t)+R_{n}(t),\quad }$ avec ${\displaystyle R_{d}(t)}$ le rayon de courbure de la courbe générale de décalage, ${\displaystyle R(t)}$ le rayon de courbure de ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$, et ${\displaystyle R_{n}(t)}$ le rayon de courbure de ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}(t))}$ pour le paramètre ${\displaystyle t}$ .
• Lorsque des courbes de décalage générales sont construites, elles auront des pointes lorsque la courbure de la courbe correspond à la courbure du décalage. Ce sont les points où la courbe touche la développée.

Les surfaces décalées générales décrivent la forme des coupes effectuées par une variété de mèches de coupe utilisées par les fraises en bout à trois axes dans l'usinage à commande numérique . On suppose qu'on a une représentation paramétrique régulière d'une surface, ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$, et une deuxième surface qui peut être paramétrée par sa normale unitaire, ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$, où la normale de ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$ (cette paramétrisation par normale existe pour les surfaces dont la courbure gaussienne est strictement positive, et donc convexe, lisse, et non plate). La représentation paramétrique de la surface décalée générale de ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ compensé par ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ est:

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+{\vec {d}}({\vec {n}}(u,v)),\quad }$ où ${\displaystyle {\vec {n}}(u,v)}$ est la normale unitaire de ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}$ .

Une fois encore, le décalage trivial, ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$, donne des surfaces parallèles ordinaires (c'est-à-dire décalées).

• Comme pour les droites parallèles, le plan tangent d'une surface est parallèle au plan tangent de ses décalages généraux[21].
• Comme pour les lignes parallèles, une normale à une surface est également normale à ses décalages généraux[21].
• ${\displaystyle S_{d}=(1+SS_{n}^{-1})^{-1}S,\quad }$ où ${\displaystyle S_{d},S,}$ et ${\displaystyle S_{n}}$ sont les opérateurs de forme pour ${\displaystyle {\vec {x}}_{d},{\vec {x}},}$ et ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$, respectivement.

Les courbures principales sont les valeurs propres de l' opérateur de forme, les directions de courbure principales sont ses vecteurs propres, la courbure gaussienne est son déterminant et la courbure moyenne est la moitié de sa trace .

• ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1},\quad }$ où ${\displaystyle S_{d}^{-1},S^{-1}}$ et ${\displaystyle S_{n}^{-1}}$ sont les inverses des opérateurs de forme pour ${\displaystyle {\vec {x}}_{d},{\vec {x}},}$ et ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$, respectivement.

Les rayons de courbure principaux sont les valeurs propres de l'inverse de l' opérateur de forme, les directions de courbure principales sont ses vecteurs propres, l'inverse de la courbure gaussienne est son déterminant et le rayon de courbure moyen est la moitié de sa trace .

Là encore, il y a similarité avec les propriétés géométriques des courbes de décalage générales.

Les propriétés géométriques répertoriées ci-dessus pour les courbes et les surfaces décalées générales peuvent être dérivées pour des décalages de dimension arbitraire. Soit une représentation paramétrique régulière d'une surface à n dimensions, ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$, où la dimension de ${\displaystyle {\vec {u}}}$ est n-1. Supposons également que vous ayez une deuxième surface à n dimensions qui peut être paramétrée par sa normale unitaire, ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$, où la normale de ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$ (cette paramétrisation par normale existe pour les surfaces dont la courbure gaussienne est strictement positive, et donc convexe, lisse, et non plate). La représentation paramétrique de la surface décalée générale de ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ compensé par ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ est:

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}({\vec {u}})={\vec {x}}({\vec {u}})+{\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}})),\quad }$ où ${\displaystyle {\vec {n}}({\vec {u}})}$ est la normale unitaire de ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ . (Le décalage trivial, ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$, donne des surfaces parallèles ordinaires. )

On remarque tout d'abord que la normale de ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})=}$ la normale de ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))={\vec {n}}({\vec {u}}),}$ par définition. Maintenant, nous allons appliquer le différentiel par rapport à ${\displaystyle {\vec {u}}}$ en ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$, qui donne ses vecteurs tangents générant son plan tangent.

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}({\vec {u}})=\partial {\vec {x}}({\vec {u}})+\partial {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$

Il apparait que les vecteurs tangents pour ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$ sont la somme des vecteurs tangents pour ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ et son décalage ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$, qui partagent la même unité normale. Ainsi, la surface décalée générale partage le même plan tangent et normal avec ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ et ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$ . Cela correspond à la nature des enveloppes.

On considère maintenant les équations de Weingarten pour l' opérateur de forme, qui peut être écrit comme ${\displaystyle \partial {\vec {n}}=-\partial {\vec {x}}S}$ . Si ${\displaystyle S}$ est inversible, ${\displaystyle \partial {\vec {x}}=-\partial {\vec {n}}S^{-1}}$ . Il faut rappeler que les courbures principales d'une surface sont les valeurs propres de l'opérateur de forme, les directions de courbure principales sont ses vecteurs propres, la courbure de Gauss est son déterminant et la courbure moyenne est la moitié de sa trace. L'inverse de l'opérateur de forme conserve ces mêmes valeurs pour les rayons de courbure.

En remplaçant dans l'équation la différentielle de ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$, on a:

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}-\partial {\vec {n}}S_{n}^{-1},\quad }$ où ${\displaystyle S_{n}}$ est l'opérateur de forme pour ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$ .

Ensuite, on utilise à nouveau les équations de Weingarten pour remplacer ${\displaystyle \partial {\vec {n}}}$ :

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}+\partial {\vec {x}}SS_{n}^{-1},\quad }$ où ${\displaystyle S}$ est l'opérateur de forme pour ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ .

Ensuite, on résout pour ${\displaystyle \partial {\vec {x}}}$ et multiplie des deux côtés par ${\displaystyle -S}$ pour revenir aux équations de Weingarten, cette fois pour ${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}}$ :

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}=\partial {\vec {x}},}$

${\displaystyle -\partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S=-\partial {\vec {x}}S=\partial {\vec {n}}.}$

Ainsi, ${\displaystyle S_{d}=(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S}$, et l'inversion des deux côtés donne ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1}}$ .