Conjecture de Cercignani

La conjecture de Cercignani est une conjecture proposée par Carlo Cercignani[1] qui postule une inégalité entre entropie et production d'entropie destinée à estimer la convergence vers l'équilibre thermodynamique des gaz.

Description du milieu gazeux à l'échelle microscopique

Il existe trois modes de description pour un ensemble de particules dans un volume de gaz isolé[2] :

la description newtonienne de toutes les particules par l'équation de Liouville portant sur la description d'un système classique constitué de N particules est donné par l'évolution de la fonction de distribution

f_{N}=f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)

où les vecteurs q_i sont les coordonnées généralisées du système et les p_i les quantités de mouvement de chaque particule : il y a donc 6N variables dans un espace tridimensionnel.

Ce système est réversible : on peut lui appliquer le théorème de récurrence de Poincaré ;

l'équation de Boltzmann portant sur la description statistique de l'état d'une particule quelconque représentant l'ensemble des particules, non distinguables

f=f(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)

Pour des raisons de simplicité le second membre quadratique de l'équation de Boltzmann est souvent remplacé par un terme linéaire (par exemple en utilisant la méthode de Bhatnagar-Gross-Krook, en abrégé méthode BGK), ce qui ne change pas le fond du problème.

Le théorème H établit l'irréversibilité de ce système dont on montre qu'il admet des solutions infinies aux temps longs[3]. Cette contradiction avec la description newtonienne a fait l'objet d'une controverse historique entre Boltzmann, Loschmidt, Poincaré et Zermelo[4].

la description de type « marcheur aléatoire » où l'on suit une particule soumise à un processus stochastique, ce qui conduit à une équation de diffusion, par nature irréversible.

On passe de l'équation de Boltzmann à l'équation de diffusion par quelques manipulations assez simples[2], ce qui ne pose pas de problème, au contraire du passage de la description newtonienne à l'équation de Boltzmann par la hiérarchie BBGKY ou celle de Boltzmann en utilisant le modèle d'interaction sphères dures de diamètre d et la loi d’échelle de Boltzmann-Grad à nombre de collisions constant[5]

N\to \infty \,,\qquad r\to 0^{+}\,,\qquad Nd^{2}=C^{ste}

Ce passage à la limite est à l'origine d'une perte de réversibilité, en même temps que la perte d'information sur le système en passant d'un espace de dimension 6N à un espace de dimension 3[2].

Conjecture de Cercignani

Convergence vers l'équilibre thermodynamique

On se place dans le cas d'un milieu homogène constitué de particules d'un gaz parfait dont l'équilibre thermodynamique correspond à la loi de distribution des vitesses de Maxwell f_eq (v). Ce système obéit à l'équation de Boltzmann

{\frac {\partial }{\partial t}}f(\mathbf {v} ,t)=Q(f,f)(\mathbf {v} ,t)

où Q (f, f) est l'opérateur de collision quadratique auquel on peut substituer l'opérateur BGK $B(f)(\mathbf {v} ,t)$ .

La fonction H de Boltzmann (l'opposée de l'entropie) vaut

\mathrm {H} (f)=\int f(\mathbf {v} )\log f(\mathbf {v} )\mathrm {d} \mathbf {v}

C'est une fonction qui décroît de façon monotone.

La distance de l'état courant défini par f (v) à l'état final est mesurée par la divergence de Kullback-Leibler

D(f)=\int f(\mathbf {v} )\log \left({\frac {f(\mathbf {v} )}{f_{eq}(\mathbf {v} )}}\right)\mathrm {d} \mathbf {v} =\mathrm {H} (f)-\mathrm {H} (f_{eq})\geq 0

La production de H est donnée par

P(f)=-\int {\frac {\partial }{\partial t}}f(\mathbf {v} ,t)\log f(\mathbf {v} )\mathrm {d} \mathbf {v} =-\int Q(f,f)(\mathbf {v} )\log f(\mathbf {v} )\mathrm {d} \mathbf {v} \geq 0

Cette quantité est positive ou nulle. Elle est nulle si et seulement si f = f_eq.

En dérivant D (f) par rapport à t on voit que la « vitesse » de convergence vers l'équilibre est proportionnelle à la production d'entropie[1]

{\frac {\mathrm {d} D(f)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathrm {H} (f)}{\mathrm {d} t}}=-P(f)

Conjecture

La conjecture de Cercignani s'exprime par l'inégalité

P(f)\,\geq \,\lambda \,D(f)\,,\qquad \lambda >0

où le coefficient λ ne dépend que de Q.

En appliquant cette hypothèse à l'équation de convergence on voit que

D(f)\leq D(f_{0})e^{-\lambda t}

où f₀ est l'état initial. f converge au moins aussi vite qu'une exponentielle.

Divers exemples ont montré que cette conjecture était fausse en l'état. Des travaux encore actuels se focalisent sur la nature du coefficient λ et sa dépendance aux autres paramètres du problème comme le potentiel d'interaction ou les conditions initiales (propriétés de f₀)[6]. En suivant Cédric Villani on peut dire que « cette conjecture est souvent vraie et toujours presque vraie »[7].

Voir aussi

Théorème de Sanov

Références

(en) Carlo Cercignani, « H-theorem and Trend to Equilibrium in the Kinetic Theory of Gases », Archiwum Mechaniki Stosowanej, vol. 34, n^o 3,‎ 1982, p. 231–241
François Golse, « De Newton à Boltzmann et Einstein : validation des modèles cinétiques et de diffusion », sur Séminaire Nicolas Bourbaki, 2014
(en) C. Villani, Handbook of Mathematical Fluid Dynamics, vol. I, North Holland, 2002 (lire en ligne), « A Review of Mathematical Topics in Collisional Kinetic Theory », p. 71–305
(en) Carlo Cercignani, Ludwig Boltzmann. The Man who Trusted Atoms, Oxford University Press, 1998 (lire en ligne)
(en) Harold Grad, « On the Kinetic Theory of Rarefied Gases », Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. 2,‎ 1949, p. 331-407
(en) Laurent Desvillettes, Clément Mouhaut et Cédric Villani, « Celebrating Cercignani's Conjecture for the Boltzmann Equation », Kinetic and Related Models, vol. 4, n^o 1,‎ 2011, p. 277-294 (lire en ligne)
(en) Cédric Villani, « Cercignani's Conjecture is Sometimes True and Always Almost True », Communications in Mathematical Physics, vol. 237, n^o 3,‎ 2003, p. 455–490

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