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Composantes d'un vecteur

En algèbre linéaire, les composantes d'un vecteur d'un K-espace vectoriel, dans une base donnée, sont une représentation explicite de ce vecteur par une famille de scalaires. Lorsque l'espace est de dimension n sur le corps K, les composantes forment un élément de l'espace vectoriel Kn.

Composantes d'un vecteur dans un espace géométrique à trois dimensions, x, y et z. Dans le cas du concept géométrique classique de vecteur, il existe une identification complète entre ses « composantes » et les « coordonnées » qui le représentent. Cependant, il existe d'autres types d'espaces vectoriels (comme, par exemple, l'ensemble des polynômes d'ordre n), dans lesquels le concept de coordonnée n'a pas la généralité de l'idée de composante.

Les composantes des vecteurs (d'un espace vectoriel de dimension finie) permettent de ramener des calculs vectoriels à des calculs sur des tableaux de nombres (n-uplets, matrices, vecteurs colonnes) qui peuvent être effectués explicitement.

Définition

Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit une base de E.

Alors pour tout vecteur de E, il existe une unique combinaison linéaire des vecteurs de la base, égale à :

c'est-à-dire que les scalaires où sont déterminés de façon unique par et .

Maintenant, les composantes (ou les coordonnées) de dans la base ou relativement à la base , sont par définition la famille . Les composantes peuvent aussi être représentées en colonne sous forme d'une matrice :

.

La matrice est appelée matrice colonne — ou vecteur colonne — des composantes — ou des coordonnées — de dans la base .

Cette matrice est parfois notée , ou encore .

Pour , le scalaire est appelé la -ème composante — ou -ème coordonnée — du vecteur dans la base .

Application composantes

Le mécanisme précédent, qui à un vecteur de E qui fait correspondre ses composantes dans la base , peut être décrit par l'application , définie par

où appartiennent à et vérifient

Alors est une application linéaire de E dans Kn.

C'est même un isomorphisme : sa réciproque est définie par

Il est aussi possible de commencer par définir cette application , de constater que c'est un isomorphisme, puis de définir comme l'isomorphisme réciproque.

Exemples

Exemple 1

Soit l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3. Cet espace est engendré par

et la famille est une base de cet espace.

La matrice colonne des composantes, dans cette base, du polynôme

s'écrit

Relativement à cette base, l'opérateur de dérivation , qui à associe , est représenté par la matrice

En utilisant cette représentation, il est aisé de déterminer les propriétés de l'opérateur, comme l'inversibilité, s'il est hermitien ou anti-hermitien ou rien du tout, son spectre / ses valeurs propres, etc.

Exemple 2

Les matrices de Pauli représentent l'opérateur spin lorsque les vecteurs propres correspondant à l'état de spin sont transformés en coordonnées.

Référence

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Coordinate vector » (voir la liste des auteurs).
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