Approximation de Korovkin

Soient C([a, b]) l'espace des fonctions réelles continues sur un segment réel [a, b], et (P_n) une suite d'opérateurs linéaires positifs (en) de C([a, b]) dans C([a, b])[6]. Si P_n(f) converge uniformément sur [a, b] vers f pour les trois fonctions monomiales f₀(x) = 1, f₁(x) = x et f₂(x) = x², alors il en est de même pour toute fonction f de C([a, b])[7] - [8].

Soit f une fonction continue sur [a, b]. Montrons[7] - [9] que la suite des fonctions P_n(f) converge uniformément vers f sur [a, b]. Fixons un réel ε > 0.

L'application f, continue sur le compact [a, b], est :

• uniformément continue (d'après le théorème de Heine). Il existe donc η > 0 tel que ${\displaystyle \forall x,y\in [a,b]\quad (|y-x|<\eta \Rightarrow |f(y)-f(x)|<\varepsilon )}$ ;
• bornée (d'après le théorème des bornes). Notons M un majorant de | f |.

Soit x ∈ [a, b]. Pour tout y ∈ [a, b], on a :

• si |y – x| < η alors |f(y) – f(x)| < ε ;
• si |y – x| ≥ η alors |f(y) – f(x)| ≤ 2M ≤ 2M(y – x)²/η².

La valeur f(y) est donc toujours comprise entre ${\displaystyle g_{x}(y):=f(x)-\varepsilon -{\frac {2M(y-x)^{2}}{\eta ^{2}}}\quad {\rm {et}}\quad d_{x}(y):=f(x)+\varepsilon +{\frac {2M(y-x)^{2}}{\eta ^{2}}}.}$ Par positivité des opérateurs P_n, on en déduit que ${\displaystyle P_{n}(g_{x})\leq P_{n}(f)\leq P_{n}(d_{x}).}$ Or g_x et d_x sont des polynômes du second degré — c'est-à-dire des combinaisons linéaires de f₂, f₁ et f₀ — donc (par hypothèse sur les P_n) ${\displaystyle P_{n}(g_{x})\to g_{x}\quad {\rm {et}}\quad P_{n}(d_{x})\to d_{x},}$ uniformément sur [a, b]. De plus, puisque les coefficients de ces deux combinaisons linéaires sont des fonctions bornées de x ∈ [a, b], la convergence est également uniforme par rapport à x. Il existe donc N tel que pour tout n ≥ N et tous x, y ∈ [a, b] : ${\displaystyle |P_{n}(g_{x})(y)-g_{x}(y)|\leq \varepsilon \quad {\rm {et}}\quad |P_{n}(d_{x})(y)-d_{x}(y)|\leq \varepsilon ,}$ en particulier : ${\displaystyle |P_{n}(g_{x})(x)-(f(x)-\varepsilon )|\leq \varepsilon \quad {\rm {et}}\quad |P_{n}(d_{x})(x)-(f(x)+\varepsilon )|\leq \varepsilon ,}$ d'où finalement : ${\displaystyle f(x)-2\varepsilon \leq P_{n}(g_{x})(x)\leq P_{n}(f)(x)\leq P_{n}(d_{x})(x)\leq f(x)+2\varepsilon .}$ On a donc bien : ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\quad \forall n\geq N\quad \forall x\in [a,b]\quad |P_{n}(f)(x)-f(x)|\leq 2\varepsilon .}$