Anneau de Novikov

Voici la définition d'un anneau de Novikov[1] :

Soit ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {R} }$ un sous-groupe additif de ${\displaystyle \mathbb {R} }$. L'anneau de Novikov ${\displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )}$ de ${\displaystyle \Gamma }$ est par définition l'anneau constitué des séries formelles : ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }n_{\gamma _{i}}t^{\gamma _{i}}}$ où :

• ${\displaystyle (n_{\gamma _{i}})_{i\in \mathbb {N} }}$ est une suite en ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ;
• ${\displaystyle t}$ est une indéterminée ;
• ${\displaystyle (\gamma _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ est une suite strictement décroissante en ${\displaystyle \Gamma }$, i.e. telle que ${\displaystyle \gamma _{1}>\gamma _{2}>\cdots }$, qui vérifie ${\displaystyle \lim _{i\to +\infty }\gamma _{i}=-\infty }$.

La structure d'anneau (addition et produit) de ${\displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )}$ est la même que celle de l'anneau ${\displaystyle \mathbb {Z} [\![\Gamma ]\!]}$ des séries formelles ${\displaystyle \sum _{\gamma \in \Gamma }n_{\gamma }t^{\gamma }}$.

De manière équivalente, l'anneau de Novikov ${\displaystyle \mathrm {Nov} (\Gamma )}$ peut être défini par : ${\displaystyle \mathrm {Nov} (\Gamma ):=\left\{\sum _{\gamma \in \Gamma }n_{\gamma }t^{\gamma }|n_{\gamma }\in \mathbb {Z} ,\forall c\in \mathbb {R} ,\#\{\gamma |n_{\gamma }\neq 0,n_{\gamma }>c\}<+\infty \right\}}$

On peut remarquer que :

• L'anneau de Novikov ${\displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )}$ est un sous-anneau de l'anneau ${\displaystyle \mathbb {Z} [\![\Gamma ]\!]}$ ;
• L'anneau de Novikov ${\displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )}$ est un anneau principal ;
• Il existe d'autres définitions d'anneau de Novikov.

Voici une autre définition d'anneau de Novikov[2] : l'anneau de Novikov est : ${\displaystyle \mathbb {Z} ((z)):=\mathbb {Z} [[z]][z]=\left\{\sum _{j=-\infty }^{\infty }n_{j}z^{j}|n_{j}\in \mathbb {Z} ,\exists k\in \mathbb {Z} ,\forall j<k,n_{j}=0\right\}}$ où ${\displaystyle z}$ est une indéterminée.

Remarquons que la définition de ${\displaystyle \mathbb {Z} ((x))}$ est similaire à celle ${\displaystyle \mathrm {Nov} (\mathbb {Z} )}$, pour ${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} }$, mais avec un nombre fini de termes ${\displaystyle z}$ en puissance négative au lieu d'un nombre fini de termes ${\displaystyle z}$ en puissance positive.

En théorie de Morse, plus précisément en homologie de Morse, une fonction de Morse ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ à valeurs réelles définie sur une variété différentielle compacte ${\displaystyle M}$ induit un complexe de chaîne ${\displaystyle C_{*}(f)}$ librement engendré sur un anneau ${\displaystyle A}$ par les points critiques de ${\displaystyle f}$ et gradué par leur indice de Morse. Le rang de ${\displaystyle C_{k}(f)}$, i.e. le nombre ${\displaystyle c_{k}(f)}$ de points critiques de ${\displaystyle f}$ d'indice de Morse ${\displaystyle k}$, est nommé ${\displaystyle k}$-ième nombre de Morse. Les nombres de Morse vérifient les inégalités de Morse :

${\displaystyle c_{k}(f)\geq b_{k},\qquad \forall k}$ où ${\displaystyle b_{k}}$ est le ${\displaystyle k}$-ième nombre de Betti de ${\displaystyle M}$.

En analogie avec ceci, on peut définir les deux nombres de Novikov. À ces nombres seront associés les inégalités de Novikov.

Fixons ${\displaystyle X}$ un polyèdre connexe avec points de base ${\displaystyle x_{0}\in X}$. Fixons aussi une classe de cohomologie ${\displaystyle \xi \in H^{1}(X;\mathbb {R} )}$. Cette dernière peut être vue comme fonctionnelle linéaire : ${\displaystyle \xi :H_{1}(X;\mathbb {R} )\to \mathbb {R} }$ sur le premier groupe d'homologie ${\displaystyle H_{1}(X;\mathbb {R} )}$.

En la composant avec l'homomorphisme d'Hurewicz ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})\to H_{1}(X,\mathbb {R} )}$, elle peut être vue comme homomorphisme de groupes ${\displaystyle \xi$ :\pi _{1}(X,x_{0})\to \mathbb {R} } .

Par la propriété universelle, cette application en retour donne un homomorphisme d'anneau ${\displaystyle \phi _{\xi }:\mathbb {Z} [\pi ]\to \mathrm {Nov} }$ où ${\displaystyle \pi$ :=\pi _{1}(X,x_{0})} et où ${\displaystyle \mathrm {Nov}$ :=\mathrm {Nov} (\mathbb {R} )} , faisant de ${\displaystyle \operatorname {Nov} }$ un ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi ]}$-module. Puisque ${\displaystyle X}$ est un polyèdre connexe, ce dernier ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi ]}$-module ${\displaystyle \operatorname {Nov} }$ correspond à un système de coefficients locaux ${\displaystyle L_{\xi }}$ sur ${\displaystyle X}$.

Le groupe d'homologie ${\displaystyle H_{k}(X;L_{\xi })}$ est un module finiment engendré sur ${\displaystyle \operatorname {Nov} }$, qui est, par le théorème des facteurs invariants, une somme directe de la partie libre et de la partie torsion. Le rang de la partie libre de ${\displaystyle H_{k}(X;L_{\xi })}$ est nommé le ${\displaystyle k}$-ième nombre de Novikov Betti et est dénoté par ${\displaystyle b_{k}(\xi )}$. Le nombre de modules cycliques dans la partie torsion de ${\displaystyle H_{k}(X;L_{\xi })}$ est nommé ${\displaystyle k}$-ième nombre de torsion de Novikov et est dénoté par ${\displaystyle q_{k}(\xi )}$. Les nombres ${\displaystyle b_{k}(\xi )}$ et ${\displaystyle q_{k}(\xi )}$ sont nommés nombres de Novikov.

Lorsque ${\displaystyle \xi =0}$, ${\displaystyle L_{\xi }}$ est trivial. Dans ce cas, ${\displaystyle b_{k}(0)}$ est le ${\displaystyle k}$-ième nombre de Betti ${\displaystyle b_{k}}$ usuel de ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle q_{k}(0)}$ est le nombre minimal de générateurs du sous-groupe de torsion de ${\displaystyle H_{k}(X;\mathbb {Z} )}$.

L'analogue des inégalités de Morse, nommées inégalités de Novikov, tiennent aussi pour les nombres de Novikov.

Fixons ${\displaystyle \alpha }$ une 1-forme différentielle fermée sur une variété différentielle ${\displaystyle M}$ dont les zéros sont de type Morse.

Soit ${\displaystyle c_{k}(\alpha )}$ le nombre de zéros d'indice de Morse ${\displaystyle k}$ de ${\displaystyle \alpha }$.

Soit ${\displaystyle \xi$ :=[\alpha ]\in H^{1}(M,\mathbb {R} )} sa classe de cohomologie de de Rham.

Les inégalités de Novikov s'écrivent alors : ${\displaystyle c_{k}(\alpha )\geq b_{k}(\xi )+q_{k}(\xi )+q_{k-1}(\xi ),\qquad \forall k}$.

Tel que mentionné plus haut, il existe d'autres notions d'anneaux de Novikov. En voici un exemple dans le contexte de la cohomologie quantique[3].

Soit ${\displaystyle (M,\omega )}$ une variété symplectique fermée (i.e. compacte et sans bord).

Posons ${\displaystyle H_{2}(M):=H_{2}(M;\mathbb {Z} )/\mathrm {torsion} }$ le second groupe d'homologie de ${\displaystyle M}$ modulo sous-groupe de torsion.

Soit ${\displaystyle R}$ un anneau commutatif unitaire.

L'anneau de Novikov ${\displaystyle \Lambda }$ est par définition l'ensemble des séries formelles ${\displaystyle \lambda =\sum _{A\in H_{2}(X)}\lambda _{A}e^{A}}$ où :

• ${\displaystyle \lambda _{A}\in R}$ ;
• ${\displaystyle e^{A}}$ est une variable formelle sujette à la condition ${\displaystyle e^{A+B}=e^{A}e^{B}}$ ;
• pour tout ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$, la cardinalité de l'ensemble ${\displaystyle \left\{\lambda _{A}|\lambda _{A}\neq 0,\omega (A)<C\right\}}$ est finie.